广东省惠州市2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

九年级（下）开学数学试卷一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1 下列图形中，是中心对称图形的是( )A B C D.2 下列是一元二次方程的是( )Ax22x3 0 Bx2y+1 0 C 2x+3 0 Dx2+2y 10 03 毛泽东在沁园春雪中提到五位历史名人：秦始皇、汉武帝、唐太宗、宋太祖、 成吉思汗，小明将这五位名人简介分别写在五张完全相同的知识卡片上，小哲从中随机 抽取一张，卡片上介绍的人物是唐朝以后出生的概率是( )A B C D . 4 关于反比例函数 下列说法正确的是 ( )A 图象过（1 ，2）点 B 图象在第一、三象限C 当 x0 时，y 随 x 的增大而减小 D 当 x0 时，y 随 x 的增大而增大5 如图，在半径为 5cm 的O 中，弦 AB=6cm ，OCAB 于点 C，则 OC 等于( )A 3 cm B 4cm C 5cm D 6cm6 若 x1 、x2 是一元二次方程 x2-5x+6=0 的两个根，则 x1+x2 的值是( )A 1 B 5 C -5 D 67 将抛物线y 4x2 先向右平移 3 个单位，再向下平移 5 个单位，得到的抛物线解析式 为( )Ay 4（x+3）2+5 By 4（x+3）25Cy 4（x3）2+5 Dy 4（x3）258如图，若AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，7ABD = 58O ，则<C 的度数为( )试卷第 1 页，共 5 页A 116o B 58o C 42o D 32o9 . DEF 和 ABC 是位似图形，点 O 是位似中心，点 D，E，F 分别是OA ，OB ，OC 的中点，若 DEF 的面积是 2，则 ABC 的面积是( )A 2 B 4 C 6 D 810抛物线y = ax2 + bx + c 的顶点为D(-1, 2) ，与 x 轴的一个交点 A 在点(-3, 0) 和(-2, 0) 之间，则以下结论： b2 - 4ac < 0 ；当x > -1 时，y 随 x 增大而减小； a + b + c < 0 ；若方程ax2 + bx + c - m = 0 没有实数根，则m>2 ；3a + c < 0 其中 正确结论的个数是( )A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个二、填空题：（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）11 点(3, -1) 关于原点对称的点的坐标是 .12如图，将 ABC 绕点C 顺时针方向旋转40o，得ABC ，AC 丄 AB，则上A = .试卷第 2 页，共 5 页13 二次函数y = x2 - 2x + 4 的顶点坐标为 .14 如图，直线 ADBE CF，BC= AC，DE=4 ，那么 EF 的值是 .15如图，AOB 90° , B 30°, 以点 O 为圆心，OA 为半径作弧交 AB 于点 C，交 OB 于点 D，若 OA 2，则阴影部分的面积为 .三、解答题（一）：本大题共 3 小题，第 16 题 10 分，第 17 、18 题各 7 分， 共 24 分.16 （1）解方程：x2 - 4x + 3 = 0 ；（2）如图， ABC 三个顶点的坐标分别为A(2, 4) ，B (1, 1) ，C (4, 3)，请画出 ABC 绕点 O 逆时针旋转90O 后的A1B1C1 ，并求出 C 点旋转到C1 点所经过的路径长.（结果保 留 )17 小明在一幅长为 80cm，宽为 50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸 边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 5400cm2 ，求金色纸边 的宽度.试卷第 3 页，共 5 页18 已知关于 x 的一元二次方程：3x2 - (k + 3)x + k = 0(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若该方程有一个根大于 2，求 k 的取值范围.四、解答题（二）：本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分.19 在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字 1 ，2 ，3 ，4 的小球，它们的形状、 大小、质地等完全相同， 小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为 x，放回盒子 摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为 y .（1）用列表法或画树形图表示出（x ，y）的所有可能出现的结果；（2）求小明、小华各取一次小球所确定的点（x ，y）落在二次函数 y=x2 的图象上的概 率.20 问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论如图,已知 AD 是 ABC 的角平分线，可证 小慧的证明思路是：如图,过点 C 作CE AB ，CE 交AD 的延长线于点 E，构造相似三角形来证明尝试证明：（1）请参照小慧提供的思路，利用图证明： .应用拓展：（2）如图, 在RtABC 中，上BAC = 90O，D 是边BC 上一点，连接AD ，将 ACD 沿AD 所在直线折叠，点 C 恰好落在边AB 上的 E 点处若AC = 1 ，AB = 2 ，求DE 的 长.21 如图，在矩形 OABC 中，OA 3 ，OC 2，F 是 AB 上的一个动点（F 不与A，B 重合），过点 F 的反比例函数 的图象与 BC 边交于点 E .试卷第 4 页，共 5 页（1）当 F 为 AB 的中点时，求该反比例函数的解析式和点 E 的坐标.（2）设过（1）中的直线 EF 的解析式为y ax+b ，直接写出不等式 ax+b的解集.（3）当 k 为何值时，AEF 的面积最大，最大面积是多少？五、解答题（三）：本大题共 2 小题，每小题 12 分，共 24 分.22 综合探究如图，平行四边形ABCD 中，AC = BC ，过 A、B 、C 三点的O 与AD 相交于点 E，连 接CE .(1)求证：AB = CE ；(2)求证：DC 与O 相切；(3)若O 半径r = 5 ，AB = 8 ，求 AE 的值.23 如图，抛物线y = ax2 + bx - 6 与 x 轴交于点A(-6, 0) 和点B(2, 0) 与y 轴交于点C ， 连接AC ，BC .(1)求该抛物线的函数解析式；(2)点P 是直线AC 下方抛物线上的一个动点，过点P 作BC 的平行线l，交线段 AC 于 D .试探究：在直线l 上是否存在点E ，使得以点D ，C ，B ，E 为顶点的四边形为菱形， 若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.设抛物线的对称轴与直线l 交于点M ，与直线 AC 交于点N 当SDMN = SAOC 时， 请直接写出DM 的长.试卷第 5 页，共 5 页1 B【分析】根据中心对称图形的定义，进行判断即可. 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意；C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选 B .【点睛】本题考查中心对称图形的识别 熟练掌握中心对称图形的定义：一个图形绕一点旋 转 180 度后，与自身重合，是解题的关键.2 A【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案. 【详解】解：A、是一元二次方程，故此选项正确； B、是二元一次方程，故此选项错误；C、是一元一次方程，故此选项错误； D、是二元二次方程，故此选项错误； 故选：A .【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住 5 个方面：“化简后” ；“ 一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于 0”； “整式方程” .3 C【分析】本题主要考查概率公式，先找出唐朝以后出生的人物，然后依据概率公式计算即 可.【详解】解：在秦始皇、汉武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗 5 五人中，唐朝以后出生的有2 人，在上述 5 人中随机抽取一张，所有抽到的人物为唐朝以后出生的概率= .故选：C .4 D【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数的性质逐一判断即可得答案，【详解】反比例函数 中，-20，答案第 1 页，共 17 页:图象位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大，:B 、C 选项错误，D 选项正确， 当 x=1 时，y=-2，:图象不经过（1 ，2）点，故 A 错误， 故选：D .5 B【分析】连接 OA，根据垂径定理求出 AC 的长，根据勾股定理求出答案. 【详解】连接 OA，OC丄AB，:OC= · =4 . 故选：B .6 B【分析】依据一元二次方程根与系数的关系表示出两根和即可. 【详解】x1，x2 是一元二次方程 x2-5x6 0 的两个根，:x1x2 5， 故选 B .【点睛】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关 键.7 D【分析】先得到抛物线y 4x2 的顶点坐标为（0 ，0），再利用点平移的规律得到点（0 ，0） 平移后对应点的坐标为（3，5），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式.答案第 2 页，共 17 页【详解】抛物线y 4x2 的顶点坐标为（0 ，0），把（0 ，0）先向右平移 3 个单位，再向下平 移 5 个单位所得对应点的坐标为（3，5），所以平移后的抛物线解析式为 y 4（x3）25 .故选 D .【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由