王式安强化班讲义

第一讲随机事件和概率考试要求：数学一、三、四要求一致。了解： 样本空间的概念理解： 随机事件，概率，条件概率，事件独立性，独立重复试验掌握： 事件的关系与运算，概率的基本性质，五大公式（加法、减法、乘法、全概率、贝叶斯） ，独立性计算，独立重复试验就算会计算：古典概率和几何型概率。§1 随机事件与样本空间一、随机试验：E（1）可重复 （2）知道所有可能结果 （3）无法预知 二、样本空间试验的每一可能结果样本点 所有样本点全体样本空间三、随机事件样本空间的子集随机事件 A B C 样本点基本事件， 随机事件由基本事件组成。如果一次试验结果，某一基本事件出现发生，出现 概率统计王式安概率论与数理统计L3如果组成事件A的基本事件出现A发生，A出现 必然事件 不可能事件 §2 事件间的关系与运算一事件间关系包含，相等，互斥，对立，完全事件组，独立二事件间的运算：并，交，差运算规律：交换律，结合律，分配律，对偶律概率定义，集合定义，记号，称法，图三事件的文字叙述与符号表示例2 从一批产品中每次一件抽取三次，用(1,2,3)iA i =表示事件：“第二次抽取到的是正品”试用文字叙述下列事件：（1）122313A AA AA A； （2）123A A A； （3）123AAA； （4）123123123A A AA A AA A A； 再用123,A A A表示下列事件： (5)都取到正品； (6)至少有一件次品； (7)只有一件次品； (8)取到次品不多于一件。 §3 概率、条件概率、事件独立性、五大公式 一公理化定义 , ,A P (1)( )0P A (2)( )1P =(3)1212()()()()nnP AAAP AP AP A=+?,ijA Aij= 二性质 (1)()0P =（2）1212()()()()nnP AAAP AP AP A=+?,ijA Aij= (3)( )1( )P AP A= (4), ( )( )AB P AP B (5)0( )1P A三条件概率与事件独立性 王式安概率论与数理统计L3(1)()( )0, (),( )P ABP AP B AP A>=事件A发生条件下事件B发生的条件概率；(2)()( ) ( ),P ABP A P B=事件,A B独立，,A B独立,A B?独立,A B?独立,A B?独立；( )0P A >时,A B独立()( )P B AP B=?；(3) 121212(,)() ()()1 kkiiiiiikP AAAP A P AP Aiiin=121(.)0nP A AA>时，12121312121(.)() () ()(.)nnnP A AAP A P A A P A A AP A A AA=? (4)全概率公式：12,.,nB BB是完全事件组，且()0iP B>，1,in=?1( )() ()nii iP AP B P A B=(5)贝叶斯公式：12,.,nB BB是完全事件组，( )0, ()0,1,iP AP Bin>>=?1() ()() () ()jj jnii iP B P A BP B A P B P A B= 1,2,.,jn= §4 古典型概率和伯努利概率 一古典型概率( )AnAP An=所包含的样本点数 样本点总数王式安概率论与数理统计L3二几何型概率()( )( )AALP AL=的几何度量 的几何度量三独立重复试验 独立各试验间事件独立，重复同一事件在各试验中概率不变 四伯努利试验试验只有两个结果AA和伯努利试验 n重伯努利试验 二项概率公式 (1)kkn k nC PP 0,1,.,kn= ( )P Ap=§5 典型例题分析例1.设,A B为两事件，且满足条件ABAB=，则()P AB =_ . 例2.,A B为任意两事件，则事件()()ABBC等于事件 ( )A AC( )B ()ABC( )C ()ABC()D ()ABBC例3随机事件,A B，满足1( )( )2P AP B=和()1P AB = 则有 ( )A AB = ( )B AB=( )C ()1P AB =()D ()0P AB=例4设() ()01P A P B，()1P A B =，则必有 王式安概率论与数理统计L3( )A ()( )P ABP A>( )B ()( )P ABP B>( )C ()( )P ABP A=()D ()( )P ABP B=例6试证对任意两个事件A与B，如果( )0P A >，则有 ( )(|)1( )P BP B AP A ）例7有两个盒子，第一盒中装有2个红球，1个白球；第二盒中装一半红球，一半白球， 现从两盒中各任取一球放在一起，再从中取一球，问： （1） 这个球是红球的概率； （2） 若发现这个球是红球，问第一盒中取出的球是红球的概率。 例8假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其 中18件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零（不放 回）试求： （1）先取出的零件是一等品的概率p； （2）在先取的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍为一等品的条件概率q. 例9 袋中装有个白球和个黑球， 分有放回和无放回两种情况连续随机每次一个地抽取，求下列事件的概率：（1） 从袋中取出的第k个球是白球(1)k+（2） 从袋中取出ab+个球中，恰含a个白球和b个黑球(,)ab例10随机地向半圆2( , ) 02x yyaxx，是常数）内掷一点，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于4的概率为_。 王式安概率论与数理统计L3例11在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，求在第n次成功之前恰失败了m次的概率。例12四封信等可能投入三个邮筒，在已知前两封信放入不同邮筒的条件下，求恰有三封 信放入同一个邮筒的概率为_。 例13已知, ,A B C三事件中AB与相互独立，( )0P C =，则, ,A B C三事件 ( )A 相互独立 ( )B 两两独立，但不一定相互独立( )C 不一定两两独立 ()D 一定不两两独立例1410台洗衣机中有3台二等品，现已售出1台，在余下的9台中任取2台发现均为一 等品，则原先售出1台为二等品的概率为 ( )A 3 10( )B 2 8( )C 2 10()D 3 8例15甲袋中有2个白球3个黑球，乙袋中全是白球，今从甲袋中任取2球，从乙袋中任 取1球混合后，从中任取1球为白球的概率 ( )A 1 5( )B 2 5( )C 3 5()D 4 5例1610件产品中含有4件次品，今从中任取两件，已知其中有一件是次品，求另一件也 是次品的概率。例17两盒火柴各N根，随机抽用，每次一根，求当一盒用完时，另一盒还有R根的概率。()RN王式安概率论与数理统计L3例18 （05）从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，2，X中任取一个数记为Y，则(2)P Y =_。 第二讲 随机变量及其概率分布考试要求： 理解：离散型和连续型随机变量，概率分布，分布函数，概率密度 掌握： 分布函数性质：0-1分布，二项分布，超几何分布，泊松分布，均匀分布，正 态分布，指数分布及它们的应用 会计算： 与随机变量相联系的事件的概率，用泊松分布近似表示二项分布，随机变量简 单函数的概率分布。 数学一，了解；数学三、四，掌握：泊松定理结论和应用条件§1 随机变量及其分布函数 一随机变量样本空间上的实值函数( )XX=，。常用, ,X Y Z表示 二随机变量的分布函数对于任意实数x，记函数( )()F xP Xx=，x =+ ，其中A是常数，求常数A及(12)PX。 §2 离散型随机变量和连续型随机变量 一离散型随机变量 随机变量和可能取值是有限多个或可数无穷多个。 二离散型随机变量的概率分布设离散型随机变量X的可能取值是12,.,.nx xx 称(),1,2,.kkP Xxpk=为X的概率分布或分布律 分布律性质： （1）0.,1,2,.kpk= （2）1k kp =分布律也可表示为1212kkXxxxPppp? 三离散型随机变量分布函数( )()kkkk xxxxF xP Xxp=，()( )(0)P XaF aF a= 例1 123111 326XP求( )F x 四连续型随机变量及其概率密度设X的分布函数( )F x，如存在非负可积函数( )f x，有 ( )( )xF xf t dt =， x ( )XP 例 设某段时间内通过路口车流量服从泊松分布，已知该时段内没有车通过的概率为1 e，则这段时间内至少有两辆车通过的概率为_。 五均匀分布1 ( ) 0axbf xba= 其他王式安概率论与数理统计L3 , XU a b 例 设随机变量在(1,6)上服从均匀分布，则方程210xx+ =有实根的概率是_。 六指数分布0( )0xexf xx>=0，0>( )XE 七正态分布22()21( )2x f xe =，x (0,1)XN标准正态分布 221( )2x xe=，x += 求, ,a b c的值。 例2设随机变量X的分布律为(),1,2,.,!k P XkCkk=0>试确定常数C的值。 例3汽车沿街行驶需要过三个信号灯路口，各信号灯相互独立，且红绿显示时间相等，以 X表示汽车所遇红灯个数，求X的分布及分布函数。 王式安概率论与数理统计L3例4 （04）设随机变量X服从正态分布(0,1)N，对给定的(01)=，若()P Xx( )C12 例8X的密度2( )()xxf xAex+= 且1(03)4PX=， 求： （1）X的概率密度； （2）(15)PX>= 其他试求( ),( )XYFx Fy§2 二维离散型随机变量 一联合概率分布(,),1,2,ijijP Xx Yypi j=? 1211112122122212ijjiiiijX Yyyyxpppxpppxppp? ? ? ? ?性质： （1）0ijp （2）1ij ijp =例 设随机变量X在1，2，3三个数字中等可能取值，随机变量Y在1X中等可能的取一整数值，求(, )X Y的概率分布。 二边缘概率分布()(,)iiijij jjpP XxP Xx Yyp=i， 1,2,.i = ()(,)jjijij iipP YyP Xx Yyp=i， 1,2,.j = 三条件概率分布王式安概率论与数理统计L3()0,jP Yy=>(,)()()ijij ij jjP Xx YypP Xx YyP Yyp=i， 1,2,.i = ()0iP Xx=>，(,)()()ijij ji iiP Xx YypP Yy XxP Xxp=i， 1,2,.j = 例 设分布律为01 010.5X Y abc，已知1(10)2P YX=，1(10)3P XY=，求, ,a b c§3 二维连续型随机变