概率论与数理统计强化讲义

新东方在线 www.koolearn.com 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 考研数学概率论与数理统计强化讲义 主讲：张宇主讲：张宇 张宇：新东方在线名师，博士，全国著名考研数学辅导专家，教育部“国家精品课程建设骨干教师”，全国畅销书高等数学 18 讲 、 考研数学题源探析经典 1000 题作者，高等教育出版社全国硕士研究生入学统一考试数学考试参考书（大纲解析） 编者之一，2007 年斯洛文尼亚全球可持续发展大会受邀专家（发表 15 分钟主旨演讲） 首创“题源教学法”，对考研数学的知识结构和体系有全新的解读，对考研数学的命题与复习思路有极强的把握和预测能力，让学生轻松高效夺取高分 欢迎使用新东方在线电子教材 欢迎使用新东方在线电子教材 目目 录录 第一讲 随机事件与概率 . 1 第二讲 一维随机变量及其分布 . 7 第三讲 多维随机变量及其分布 . 13 第四讲 数字特征 . 19 第五讲 大数定律与中心极限定理 . 27 第六讲 数理统计 . 31 新东方在线 www.koolearn.com 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 1 第一讲第一讲 随机事件与概率随机事件与概率 综述综述 1正确理解概念，灵活使用公式 2用古典概型、几何概型、公式求复杂事件的概率 一、重要概念与公式一、重要概念与公式 1事件的关系与运算 （1）样本空间（全集） 其基本元素iw，叫样本点. （2）事件样本空间的子集：A、B、C、 不可能事件 必然事件 （3）完备事件组 i iA ，ijAA （ij） （4）运算关系 ABAB，ABAB 2古典概型 若中有有限个、等可能的样本点，称为古典概型. ( )AP A 中样本点个数 中样本点个数【例】设 5 封信投入 4 个信箱. 求下列事件的概率： 1A=1、2 号信箱中各有 1 封信 2A=某信箱中有 3 封信 3A=第 2 个信箱没有信 新东方在线 www.koolearn.com 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 2 4A=仅有一个信箱没有信 3几何概型 （1）引例 （2）定义 若是一个可度量的几何区域， 且样本点落入中的某一可度量子区域A的可能性大小 与A的几何度量成正比，而与A的位置与形状无关，称为几何概型. ( )P A A的度量 的度量【例】在(0,1)内随机取两个数，则这两个数之差的绝对值小于1 2的概率为 . 4重要公式 （1）对立 ()1()P AP A （2）减法 ()( )()P ABP AP AB （3）加法 1）()( )( )()P ABP AP BP AB 新东方在线 www.koolearn.com 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 3 2）()( )( )( )()()()()P ABCP AP BP CP ABP BCP ACP ABC 【注】超过三个的事件和的概率，一般附加“互斥” 、 “独立”条件. 若1A，2A，nA(3)n 两两互斥，则11()()nnii iiPAP A. 设1A，2A，nA. 若对其中任意有限个1 iA，2iA，(2)ikA k ，都有 1212()() ()()iiikiiikP A AAP A P AP A，则称1A，2A，nA相互独立. 12121313 123 2323123123()() ()()() (),()() ()()() () ()P A AP A P AP A AP A P AA A AP A AP A P AP A A AP A P A P A 相互独立. n个事件相互独立它们中任意一部分事件换成各自的对立事件所得n个新事件相互 独立. 若1A，2A，nA(3)n 相互独立，则 11111()1()1()1()11()nnnnniiiii iiiiiPAPAPAP AP A （4）条件 ()()( )P ABP A BP B，( )0P B （5）乘法 ()( ) (|)( ) (|)P ABP A P B AP B P A B 12312312121312()() ()() () ()P AA AP AA P A AAP A P A A P A AA （6）全集分解公式（全概公式） 1）引例 一个村子 三个小偷 新东方在线 www.koolearn.com 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 4 2）若试验分成两阶段 （）选人 （）去偷 如果0)(),(,1 ijiiniAPjiAAA，则对任一事件 B，有1ni iBAB， 1( )() (|)nii iP BP A P B A. （7）贝叶斯公式（逆概公式） 如果 0)(),(,1 ijiiniAPjiAAA，则对任一件事 B，只要 P(B)0，有 ), 2 , 1( )|)()|()()|(1ni ABAPABPAPBAPiiniii i 【例 1】下列说法，正确的是（ ） （A）已知1( )( )2P AP B，()1P AB，则AB （B）设( )0P A ，( )0P B ，则“A、B互斥”与“A、B独立”可同时成立 （C）将一枚硬币独立掷两次，记1A=第一次正面，2A=第二次正面，3A=正、反面各一次，则1A，2A，3A相互独立. （D）袋中有 100 个球，40 白 60 黑，从袋中先后不放回取 100 次，则第 100 次取到白的概率为2 5新东方在线 www.koolearn.com 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 5 【例 2】以下结论，错误的是（ ） （A）任意事件A、B、C均有()()()( )( )( ) 1P ABP ACP BCP AP BP C （B）若()()P A BP A B，则()()P B AP B A （C）任意事件1A，2A，nA，均有 1212()()()()(1)nnP AAAP AP AP An （D）任意事件A、B均有1()( ) ( )4P ABP A P B 【例 3】在大街上随机采访 6 个人，求下列事件的概率： （1）至少一人在 6 月份出生； （2）恰有 4 人在第四个季度出生； （3）恰有 3 个人在同一月出生. 【例 4】 将 4 位考生的录取通知书随机装入 4 个印有他们名字的信封， 求 4 封通知书全装 错的概率. 新东方在线 www.koolearn.com 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 6 【例 5】设有 10 份报名表，3 女 7 男.现从中每次取一份，取后不放回，求下列事件的概 率： （1）第 3 次取到女； （2）第 3 次才取到女； （3）已知前两次没取到女，第三次取到女. 【例 6】设有三个地区各 10、15、25 名考生的报名表，其中女生表分别为 3、7、5 份. 随机取一个地区的报名表，从中先后无放回取两份. （）求先取到的一份为女的概率； （）已知后取到的一份是男，求先取到的是女的概率. 【例 7】有两批数量相同的灯泡，已知有一批全正品，另一批有1 4次品，3 4正品.现从两批产品中任取一个灯泡，经检验为正品，放回原处并在原所在批次再取一个灯泡，求此 灯泡是次品的概率. 新东方在线 www.koolearn.com 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 7 第二讲第二讲 一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布 综述综述 1八个重要分布 2一维随机变量X与其分布函数( )F x 3随机变量函数()Yg X的分布( )F y 一、概念与八个分布一、概念与八个分布 1随机变量X与分布函数( )F x 随机变量 随机变量就是“其值随机会而定”的变量设随机试验E的样本空间为 ，如果对每一个，都有唯一的实数( )X与之对应，并且对任意实数x， :( )Xx是随机事件，则称定义在上的实单值函数( )X为随机变量简记为随机变量X一般用大写字母, ,X Y Z或希腊字母, , 来表示随机变量 分布函数 分布函数( ),F xP Xxx 2离散型随机变量 定义 如果随机变量X只可能取有限个或可列个值12,x x，则称X为离散型随机变量. 分布律 2121ppxxX ( ),F xP Xxx 步步高的阶梯型函数 新东方在线 www.koolearn.com 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 8 3连续型随机变量 若存在非负可积函数( )f x，使得任给(,)x 有( )( )xF xf t dt ，则称X为连续型随机变量，( )f x称为X的概率密度函数. 4( )( )ipXF xf x( )F x是某个随机变量X的分布函数1. 2. ()0,()13.FF 单调不减右连续 ip是分布律1.02.1ii ipp( )f x是概率密度函数1. ( )02.( )1f xf x dx5八个分布 0 1分布(1, )Bp 如果X的概率分布为 PPX101即(1)P Xp，(0)1P Xp ，则称X服从参数为p的0 1分布，记为(1, )(01)XBpp 二项分布( , )XB n p1. 2. ( )3.,P ApA A 独立只有如果X的概率分布为()(1),0,1, ,01kkn k knpP XkC ppknp，则称X服从参数为(