【数学】二元一次方程组（全章知识梳理与考点分类讲解） 2023-2024学年七年级数学下册（人教版）

专题8.16 二元一次方程组（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】二元一次方程组的相关概念1. 二元一次方程的定义定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 2.二元一次方程的解定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 3. 二元一次方程组的定义定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组.4. 二元一次方程组的解定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.【知识点二】二元一次方程组的解法1.解二元一次方程组的思想2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法（1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式；将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程；解这个一元一次方程，求出（或）的值；把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解.（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；将两个未知数的值用“”联立在一起即可.【知识点三】实际问题与二元一次方程组【知识点四】三元一次方程组1定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组.2三元一次方程组的解法解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“”合写在一起3. 三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤：（1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；（2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系；（3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；（4）解这个方程组，求出未知数的值；（5）写出答案(包括单位名称)【考点一】二元一次方程组的相关概念【例1】对于题目：“若方程组的解为，且整式，求：整式A的值”小明化简求值时，将系数看错了，他求的A的值为0；小宇求的结果，与题的正确答案一样，A的值为6(1)小明将系数看成的数是多少？(2)化简整式A【答案】(1)小明将系数看成的数是； (2)【分析】（1）先求出，设小明将系数看成了m，则，根据小明求的A的值，得到关于m的方程，解方程即可得到；（2）设正确的为n，则，根据小宇求的A的值为6得到，解得：，即可得到答案（1）解：方程组的解为，解得设小明将系数看成了m，则，小明求的A的值为0，解得：，即小明将系数看成的数是；（2）设正确的为n，则，小宇求的A的值为6，解得：，【点拨】此题考查了二元一次方程组的解、一元一次方程的应用、整式的加减等知识，熟练掌握一元一次方程的的解法和整式的加减法则是解题的关键【举一反三】【变式1】若二元一次方程组的解是，则的值是（    ）AB1CD5【答案】D【分析】将代入求出m、n的值，再求m+n即可解：二元一次方程组的解是，解得，m+n=5，故选：D【点拨】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键【变式2】如果将方程变形为用含的式子表示，那么 【答案】【分析】先移项，再系数化为1即可解：移项，得：，方程两边同时除以，得：，故答案为：【点拨】本题考查了解二元一次方程，将x看作常数，把y看做未知数，灵活应用等式的性质求解是关键【考点二】二元一次方程组的解法  【例2】计算：按要求解下列二元一次方程组(1)（代入法）； (2)（加减法）【答案】(1)； (2)【分析】（1）由得，将代入式得，解得，将代入式得，；（2）得，解得，将代入式得，计算求出值，进而可得结果解：（1）解：，由得，将代入式得，解得，将代入式得，；（2）解：，得，解得，将代入式得，解得，【点拨】本题考查了代入消元法、加减消元法解二元一次方程组解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用【举一反三】【变式1】若关于x，y的方程组（a，b是常数）的解为，则方程组的解为（    ）ABCD【答案】A【分析】根据两方程组各方程间的关系，可得出方程组的解为，进而可得出结论解：关于x，y的方程组（a，b是常数）的解为，方程组的解为，即故选：A【点拨】本题考查了方程组的解，方程组之间的关系，熟练掌握方程组之间的关系是解题的关键【变式2】已知方程组，则xy 【答案】1【分析】方程组利用加减消元法求出解得到x与y的值，代入原式计算即可求出值解：+得：4x=4，解得：x=1，把x=1代入得：y=0，则原式=10=1故答案为：1【点拨】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法【例3】已知关于，的方程组（1）求这个方程组的解（用含有m的式子表示）；（2）当m取何值时，这个方程组的解满足“x的2倍与y的3倍的和等于1”【答案】（1） （2）【分析】（1）利用解方程的步骤求解即可；（2）由题意可得关于x、y的方程，然后把（1）中的解代入即可求得m的值解：（1）解方程组+得，把代入得，方程组的解为：（2）根据题意得：把代入得：，解得：【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是正确的求出方程组的解【举一反三】【变式1】在关于，的二元一次方程组的下列说法中，错误的是（）A当时，方程的两根互为相反数B当且仅当时解得为的倍C，满足关系式D不存在自然数使得，均为正整数【答案】D【分析】A当a2时，方程组变形得到结果，即可判断；B将x=2y代入方程，解出a即可判断；C用含a是代数式表示x和y，再将x、y代入x5y进行计算即可判断；D用含a是代数式表示x和y，当a16时，x11，y1，即可判断解：A、当a2时，方程组为，×2得：7x7，解得：x1，把x1代入得：y1，则xy110，即方程的两根互为相反数，A选项不符合题意；B 当x=2y时，原方程组可变为：解得：当且仅当时解得为的倍；B选项不符合题意C，×2得：7x5a3，解得：x，y，x5y，正确，C选项不符合题意；D、由C可知：x，y，要使x为自然数，可得5a37，14，21，；同理a97，14，21，当a16时，x11，y1，所以存在自然数a，使得x，y均为正整数，D选项符合题意；故选：D【点拨】本题考查了二元一次方程组的解、二元一次方程的解、解二元一次方程组，解决本题的关键是掌握二元一次方程的相关知识【变式2】根据要求，解答下列问题（1）解下列方程组（直接写出方程组的解即可）：的解为 ；           的解为 ；的解为 （2）以上每个方程组的解中，x值与y值的大小关系为 【答案】 【分析】（1）观察方程组发现第一个方程x的系数与第二个方程y的系数相等，第一个方程y的系数与第二个方程x的系数相等，可利用加减消元法解方程（2）根据每个方程组的解，得到x与y的关系；本题考查了解二元一次方程组，找出题目中二元一次方程组及其解的规律是解题的关键解： 得，         得 ，解得，故答案为：； 得，        得 ，解得，故答案为：；         得， 得，解得，故答案为：；（2）以上每个方程组的解中，x值与y值的大小关系为，故答案为：【例4】某商场第1次用39000元购进甲，乙两种商品，销售完后获得利润6000元，它们的进价和售价如表（总利润单价利润销售量）：价格商品进价（元/件）售价（元/件）甲120135乙100120(1)该商场第1次购进甲，乙两种商品各多少件？(2)商场第2次以原进价购进甲，乙两种商品，购进甲商品的件数不变，而购进乙商品的件数是第1次的2倍，甲商品按原售价销售，而乙商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于5400元，则乙种商品是按几折销售的？【答案】(1)商场第1次购进甲商品200件，乙商品150件；(2)乙种商品打九折销售的【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程（1）设第1次购进甲商品x件，乙商品y件，根据该商场第1次用39000元购进甲乙两种商品且销售完后获得利润6000元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设乙商品打m折出售，根据总利润单价利润销售量，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论解：（1）解：设第1次购进甲商品x件，乙商品y件根据题意得：，解得：答：商场第1次购进甲商品200件，乙商品150件（2）解：设乙商品打m折出售根据题意得：，解得：答：乙种商品打九折销售的【举一反三】【变式1】初三某班学生在会议室看录像，每排坐13人，则有1人无处坐，每排14人，则空12个座位，则这间会议室共有座位的排数是()A12 B14 C13 D15【答案】C【分析】设这间会议室