2007考研数学三试题及解析
2007 年硕士研究生入学考试（数学三）试题及答案解析年硕士研究生入学考试（数学三）试题及答案解析一、选择题一、选择题（本题共 10 分小题，每小题 4 分，满分 40 分，在每小题给的四个选项中，只 有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）（1）当时，与等价的无穷小量是（B）0xx. A1xe.ln(1)Bx. 11Cx.1 cosDx（2）设函数在处连续，下列命题错误的是： (D)( )f x0x .若存在，则 若存在，则A 0( )lim xf x x(0)0f.B 0( )()lim xf xfx x(0)0f.若存在，则存在 若存在，则存.C 0( )lim xf x x'(0)f.D 0( )()lim xf xfx x'(0)f在（3）如图.连续函数在区间上的图形分别是直径为 1 的上、下( )yf x3, 2 , 2,3半圆周，在区间上图形分别是直径为 2 的上、下半圆周，设2,0 , 0,2则下列结论正确的是：（C ） 0( )( ) ,xF xf t dt. . A(3)F3( 2)4F .B(3)F5(2)4F.C( 3)F 3(2)4F .D( 3)F 5( 2)4F （4）设函数连续，则二次积分等于（B）( , )f x y1sin2( , ) xdxf x y dy. A10arcsin( , ) xdyf x y dx.B10arcsin( , ) ydyf x y dx.C1arcsin02( , )ydyf x y dx.D1arcsin02( , )ydyf x y dx（5）设某商品的需求函数为，其中，分别表示需要量和价格，如1602QQ果该商品需求弹性的绝对值等于 1，则商品的价格是（D）10 20 30 40. A.B.C.D（6）曲线渐近线的条数为（D）1ln(1),xyex0 1 2 3. A.B.C.D（7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是 (A)（A） (B) 122131, 212331, (C) (D) 1223312,2,2 1223312,2,2 （8）设矩阵，则 A 与 B（B）211 121112A 100 010000B （A）合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似 (9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为 (C)2( )3 (1)App2( )6 (1)Bpp22( )3(1)Cpp22()6(1)Dpp(10) 设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表示 X, Y(, )X YXY( ),( )xyfxfy的概率密度，则在条件下，的条件概率密度为 (A)YyX()X Y x yf（A） (B)( )Xfx( )yfy(C) (D)( )( )xyfx fy( ) ( )xyfx fy二、填空题：二、填空题：11-16 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上（11）.3231lim(sincos )_0_2xxxxxxx（12）设函数，则.1 23yx( ) 1( 1) 2!(0)_3nn n nny（13）设是二元可微函数，则( , )f u v(,),y xzfx y.'' 122(,)2(,)zzyy xxy xyffxyxx yyx y （14）微分方程满足的特解为.31( )2dyyy dxxx11xy2 2 1 lnxyx（15）设距阵则的秩为1.0 1 0 0 0 0 1 0,0 0 0 1 0 0 0 0A 3A(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于的概率为. 1 23 4三、解答题三、解答题：1724 小题，共 86 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. （17） （本题满分 10 分）设函数由方程确定，试判断曲线在点（1，1）附( )yy xln0yyxy( )yy x近的凹凸性. 【详解详解】：'''' 1'2 '''''''2 1'' 11ln2102ln 11 2ln12 1()(2ln )0(2ln )()101(2ln1)8( )(1,1)xx xyyyyyyyyyyyyyyyyyyy x 对方程两边求导得从而有再对两边求导得求在(1, 1)的值：所以在点处是凸的（18） （本题满分 11 分）设二元函数222.1.( , )1,12.xxyf x yxy xy 计算二重积分其中( , ).Df x y d( , )2Dx yxy【详解详解】：积分区域 D 如图，不难发现 D 分别关于 x 轴和 y 轴对称，设是 D 在第一象1D限中的部分，即 1( , )0,0DDx y xyI利用被积函数无论关于 x 轴还是关于 y 轴对称，从而按二重积分的简化计算法则可( , )f x y得1( , )4( , )DDf x y df x y d设，其中11112DDD1112( , )1,0,0 ,( , )12,0,0Dx y xyxyDx yxyxy于是 1111211122( , )4( , )4( , )4( , )44( , )DDDDDDf x y df x y df x y df x y dx df x y d由于，故11( , ) 01,01Dx yxyx 11111222000111(1)3412xDx dx dxdyxx dx为计算上的二重积分，可引入极坐标满足.在极坐标系12D( , )rcos ,sinxryr中的方程是的方程是， ，因( , )r1xy1,2cossinrxy2 cossinr 而，故12120,2 cossincossinDr122 2cossin2 12200cossin1 cossinDdrddrdrxy 令作换元，则，于是且tan2t2arctant:0:012t，代入即得2222212,cos,sin111dtttdttt12112 2222000011221001 0122(1)cossin122(1)22111()2222212121=lnln2ln( 21)22221Dddtdtdtutttxydududuuuuuu u 综合以上计算结果可知11( , )44ln( 21)4ln( 21)123Df x y d（19） （本题满分 11 分）设函数，在上内二阶可导且存在相等的最大值，又，( )f x( )g x, a b( )f a( )g a，证明：( )f b( )g b（）存在使得；( , ),a b( )( )fg（）存在使得( , ),a b''( )''( ).fg【详解详解】：证明：(1)设在内某点同时取得最大值，则( ), ( )f x g x( , )a b( , )ca b，此时的 c 就是所求点.若两个函数取得最大值的点不同( )( )f cg c( )( )fg使得则有设故有，由( )max( ), ( )max ( )f cf x g dg x( )( )0, ( )( )0f cg cg df d介值定理，在内肯定存在( , )c d( )( )fg使得(2)由(1)和罗尔定理在区间内分别存在一点0 在区( , ),( , )ab'' 1212,( )()ff 使得间内再用罗尔定理，即.12( ,) ''''( , )( )( )a bfg存在，使得（20） （本题满分 10 分）将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间.21( )34f xxx1x【详解详解】：1 02 001111( )()(4)(1)51 312 1111 51 3512 111111( )()()154151531 ()3 11243111111( )()() ( 1)151101021 ()2 11122111( )()153nnnnnnnf xxxxxxx xf xxxxxxfxxxxxxf x 记其中其中则01() ( 1)102 12nnnxx 故收敛域为：1231232 123123(21)(11)020(1)4021(2)xxxxxaxxxa xxxxaa 本题满分分设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解【详解详解】：因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组的解.1231232 123123020(3)4021xxxxxaxxxa xxxxa 即距阵方程组(3)有解的充要条件为211 10 020140 1211aa a 21110 0110 001000340aaa .1,2aa当时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的基1a 础解系为此时的公共解为：(1,0, 1)T,1,2,xkkL当时，方程组(3)的系数距阵为此时方程组(3)2a 11 101110 12200110 14400001 1 1 110000 的解为，即公共解为：1230,1,1xxx (0,1, 1)Tk（22） （本题满分 11 分）设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 A 的属于的一12311,2,2,(1, 1,1)T 1个特征向量.记，其中 E 为 3 阶单位矩阵.534BAAE（）验证是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量；1（）求矩阵 B. 【详解详解】：（）可以很容易验证，于是111(1,2,3.)nnAn 5353 111111(4)(41)2BAAE 于是是矩阵 B 的特征向量.1B 的特征值可以由 A 的特征值以及 B 与 A 的关系得到，即，53( )( )4 ( )1BAA所
