线性代数第二章word
1§1.1 矩阵的基本运算矩阵的基本运算定义定义 设与是两个矩阵，nmijaAqpijbB若它们满足 （1）m=p 且 n=q， （2）= 其中。ijaijbnjmi, 2 , 1;, 2 , 1LL 则称 A 与 B 相等相等，记为 A=B。定义定义 设 令, ,nmijnmijbBaAnmijijbaC称矩阵 C 为矩阵 A 与矩阵 B 的和和，记为 。BAC 定义定义 设 是矩阵，k 是数，令nmijaAnmijkaB称矩阵 B 为数 k 与矩阵 A 的数量积数量积，记为 B= k A。称为 A 的负矩阵负矩阵，记为 。A) 1(A2规定：，称为 A 与 B 的差差.)( BABA 例例 设 A = ，B = 014221 028642计算 2A- -Bn 阶方阵阶方阵：行数与列数均为 n 的矩阵注：注： 1 阶方阵可视为数 设，称为 AnnijaA), 2 , 1( niaiiL 的主对角元主对角元行矩阵行矩阵：只有一行的矩阵 列矩阵列矩阵：只有一列的矩阵零矩阵零矩阵：全部元素均为零的矩阵，记为 0性质性质 矩阵的加法与数量乘法具有下述性质（1）A+B=B+A（2） （A + B）+ C = A +（B + C）（3）A +（- -A）= 0（4）A + 0 = A （5）1A = A（6） （k l）A = k（l A）3（7） （k + l）A = k A + l A（8）k（A + B）= k A + k B 例例 已知 A - 2B = 3A - C，其中A = ， C = 101221011110求 B。定义定义 设 令,npijpmijbBaA njmibababacpjipjijiij , 2 , 1 ; , 2 , 1 2211 LLL 称矩阵 为矩阵 A 与矩阵 B 的积积，记为 nmijcC。ABC MLLMLMLMLMijpjjjipiicbbbaaa2121nmnppmCBA 例例4（1 1） 011101110213012（2 2） （3 3） yx 41234332 性质性质 矩阵的乘法具有下述性质：（1） （AB）C=A（BC）（2）A（B+C）= AB + AC， （B+C）A = BA + CA（3）k（AB）=（kA）B=A（kB）对角矩阵，数量矩阵，上（下）三角阵定义定义 主对角元全为 1、其余元素全为 0 的 n 阶方阵称为 n 阶单位矩阵阶单位矩阵，记为 或 I 。nI 性质性质 对任一 m×n 矩阵，均有nmAnmnmmnmnnmAAIAIA ,。npnmmpqmqnnmAA00 ,00例例 设 A, B 分别是和矩阵，且1nn15, naaaAM21nbbbBL21求 AB 和 BA. (大家算)例 设, , aaaaA bbbbB计算 AB 和 BA. (大家算)注注 1. 一般地，BAAB AB 有意义，但不一定 BA 也有意义即使 AB 与 BA 都有意义，它们也不一定 同型即使 AB 与 BA 同型，它们也不一定相等 2. 不能导出 (即由 AB=00, 0BA0AB 不能导出 A=0 或 B=0) 3. 由 AB=AC，A0 不能导出 B=C 矩阵乘法不满足交换律和消去律矩阵乘法不满足交换律和消去律. 因此, 矩阵乘法要求乘入的方式一致: 左乘; 右乘. 定义定义 设 A 是方阵，k 是正整数，称 k 个 A 的 连乘积为方阵 A 的 k 次幂次幂，记为；我们规定kA6；称AAIA10,IaAaAaAan nn n011 1 为方阵方阵 A 的多项式的多项式，这里均为数。naaa,10 例例 设 A=，计算。 3021, ,32AAIAAA3224性质性质 设 A 是方阵，k,l 是非负整数，f(x)是 x 的一元多项式，则有（1 1） kllklklkAAAAA)( ,（2）若 f(x)=g(x)h(x)，则 f(A)=g(A)h(A)，这里 f(A)表示：若f(x)=，011 1axaxaxan nn n 则f(A)=。IaAaAaAan nn n011 1 例例 设 A 是方阵，则7。)(21IAAAIAIAnnn 例例 设 ，计算。 2021AnA解解 因为,20) 12(21 202221,20) 12(21 2022133332322222 AA所以猜想。L, 2 , 1 ,20) 12(21 nAnnn对 n 作数学归纳法验证此猜想： (1)当 n =1 时，结论成立； (2)设结论对 n -1 成立; (3)证明结论对 n 也成立:， nnnnnnAAA20) 12(21202120) 12(211118根据数学归纳法原理，上述猜想对任意 n 均成立。例例 设 A=BC，其中，3021,1301CB 计算。101A解解 4444434444421L个101101101)()()()(BCBCBCBCBCBCACBCCBBCCBCBCBB100100100)2()()()(444344421L个个. 302190630000604222100100BC例例 设, , 0011A 0101B求和; 和 ;ABBA2BA222BABA9和.2)(AB22BA 注注: 一般地, 1. kkkBAAB)( 2. 2222)(BABABA 3. )(22BABABA 这里 A 与 B 是同阶方阵.当且仅当当且仅当时时, 上述三式取等号上述三式取等号.BAAB 例例（矩阵二项式定理矩阵二项式定理） 设 A 与 B 是同阶方 阵，n 是正整数。如果 AB=BA，那么 nkkknk nnnnnnnBACBnABBAnnBnAABA01221 2) 1()( L这里。nkkknnnnCk n, 2 , 1 , 0 ,!) 1()2)(1(LL例例 计算10n 001001解解 000100010000000001001因为 000100010000100010)3( , 000000000000100010000000000000100010, 00000010000010001032 kk11且 kkkk所以kknnkk nnnC 0001000100001000100010010 0001000102) 1(000100010221 nnnnnn 122) 1(121nnnnnnnnnn 例例 已知 ，而OIAA22)(2(22IAIAIAA但结论 是不对的。OIAOIA 2或同理，由 )(2)(22IAIAAOIAA也不能导出 A=2I。定义定义 设 A 是 m×n 矩阵，mnmmnnaaaaaaaaaALLLLLLL212222111211将 A 的各行写成相应的各列，得到 n×m 矩阵13mnnnmmaaaaaaaaaMMMMMMM212221212111称之为 A 的转置矩阵转置矩阵，简称为 A 的转置转置，记为。TA例例 设 A 是实矩阵（元素全为实数） ，若 ，则 A = 0。0TAA 证明证明 令mnnnmmmnmmnnTaaaaaaaaaaaaaaaaaaAAMMMMMMMLLLLLLL212221212111212222111211Ccccmm LLLLL2211可得1422 22 12 22 222 21222 12 122 1111, , mnmmmmnnaaacaaacaaac LLLLLL因 C=0，故。miaaaciniiii, 2 , 1 , 022 22 1LL 又已知 均为实数，所以必有ija。njmiaij, 2 , 1 ; , 2 , 1 , 0LL 由此得 A=0 。 性质性质 设 A、B 是任意两个矩阵，k 是任意数， 则有（1）AATT)(（2）TTTBABA)(（3）TTkAkA)(（4）TTTABAB)(例例 设 A 与 B 是同阶
