高等数学教学教案3.2洛必达法则

六六老师数学网专用资料： http:/y66.80.hk qq：745924769 tel：15327376117§3. 2 洛必达法则授课次序18教 学 基 本 指 标教学课题§3. 2 洛必达法则教学方法当堂讲授，辅以多媒体教学教学重点洛必达法则与未定式的极限教学难点不同情形下洛必达法则的应用参考教材同济大学编高等数学（第6版）自编教材高等数学习题课教程作业布置高等数学标准化作业双语教学导数：derivative ；微分：differential calculus；中值定理：law of the mean；极限：limit；极限值：limit value ；课堂教学目标掌握用洛比达法则求未定式极限的方法教学过程1洛比达法则（20min）；2用洛比达法则求型未定式极限（35min）；3用洛比达法则求其他类型未定式极限（35min）教 学 基 本 内 容§3. 2 洛必达法则 未定式: 如果当x®a (或x®¥)时, 两个函数f(x)与F(x)都趋于零或都趋于无穷大, 那么极限可能存在、也可能不存在. 通常把这种极限叫做未定式, 并分别简记为或. 其它类型的未定式: 0×¥ 、¥-¥ 、00 、1¥ 、¥0. (型), (n>0) (型), (n>0) (0×¥型), (¥-¥型), (00型), (1¥型), (¥0型). 定理 如果函数f(x)及g(x)满足如下条件: (1)当x®a时, 函数f(x)及g(x)都趋于零; (2)在点a的某去心邻域内可导g¢(x)¹0; (3)存在(或为无穷大); 那么 . 这种在一定条件下通过分子分母别求导数再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 证明: 因为极限与f(a) 及g(a)无关, 所以可以假定f(a)=g(a)=0, 于是由条件(1)、(2)知, f(x)及g(x)在点a 的某一邻域内是连续的. 设x是这邻域内的一点, 那么在以x 及a为端点的区间上, 柯西中值定理的条件均满足, 因此有(x 在x与a之间). 令x®a, 并对上式两端求极限, 注意到x®a 时x ®a, 再根据条件(3)便得要证明的结论. 简要证明: 令f(a)=g(a)=0, 于是f(x)及g(x)在点a的某邻域内连续. 在该邻域内有 . 令x®a, 并对上式两端求极限, 注意到x®a 时x ®a, 再根据条件(3)便得要证明的结论. 求“”型未定式的极限: 例1.求(b ¹0). 解: . 例2求. 解: . 例3. 求. 解: . 我们指出, 对于x ®¥时的未定式, 以及对于x ®a 或x ®¥时的未定式也有相应的洛必达法则. 例如, 对于x ®¥时的未定式有: 如果(1) 当x ®¥时, 函数f(x)及g(x)都趋于零; (2)当|x|>N 时f ¢(x)及g¢(x)都存在且g ¢(x)¹0; (3)存在(或为无穷大); 那么. 例4. 求. 解: . 2、求“ ”型未定式的极限. 例5. 求(n>0). 解: . 例6. 求(n为正整数, l>0). 解: = × × ×. 其它类型未定式0×¥、¥-¥、00、1 ¥、¥0都可以转化为或型未定式来计算. 例7. 求(n>0). 解: . 例9. 求. 解: . 例8. 求. 解: (根据例7). 洛必达法则是求未定式的一种有效方法, 但最好能与其它求极限的方法结合使用. 例如能化简时应尽可能先化简, 可以应用等价无穷小替代或重要极限时, 应尽可能应用, 这样可以使运算简捷. 例10. 求. 解: . 最后, 我们指出, 本节定理给出的是求未定式的一种方法. 当定理条件满足时, 所求的极限当然存在（或为¥）, 但定理条件不满足时, 所求极限却不一定不存在. 例11. 求. 解: 因为极限不存在, 所以不能用洛必达法则. . 求极限的方法小结: （1）单调有界序列必有极限; （2）用夹逼定理; （3）用极限运算法则 （4）用函数的连续性; 5）用两个重要极限; 6）无穷小乘有界函数仍是无穷小; （7）用洛必达法则; 补充例题: 例11 求极限(a>0, b>0). 解 =ln a -ln b = ln. 例12 = =. 例13 = = =3. 例14 求极限x ln (a ¹ 0). 解 xln=2a=2a . 例15 =, 其中ln x = =0, 于是=e 0 =1. 例16 (-)=. 求下列极限: （1）x(-1). (2) . （3）.备注栏教学后记§3. 2 洛必达法则 第 1 页 共 5 页