高考数学 文复习检测：第二章 函数、导数及其应用 课时作业16 Word版含答案

课时作业16导数的综合应用1已知f(x)(1x)ex1.(1)求函数f(x)的最大值；(2)设g(x)，x>1，且x0，证明：g(x)<1.解：(1)f(x)xex.当x(，0)时，f(x)>0，f(x)单调递增；当x(0，)时，f(x)<0，f(x)单调递减所以f(x)的最大值为f(0)0.(2)证明：由(1)知，当x>0时，f(x)<0，g(x)<0<1.当1<x<0时，g(x)<1等价于f(x)>x.设h(x)f(x)x，则h(x)xex1.当x(1,0)时，0<x<1,0<ex<1，则0<xex<1，从而当x(1,0)时，h(x)<0，h(x)在(1,0)上单调递减当1<x<0时，h(x)>h(0)0，即g(x)<1.综上，x>1且x0时，总有g(x)<1.2设函数f(x)x2aln(x1)有两个极值点x1，x2，且x1<x2.(1)求实数a的取值范围；(2)当a时，判断方程f(x)的实数根的个数，并说明理由解：(1)由f(x)x2aln(x1)，可得f(x)2x(x>1)令g(x)2x22xa(x1)，则其对称轴为x，由题意可知x1，x2是方程g(x)0的两个均大于1的不相等的实数根，所以解得0<a<.(2)由a可知x1，x2，从而易知函数f(x)在，上单调递增，在上单调递减由f(x)在上单调递增，且f2×lnln2>，可知方程f(x)在上有且只有一个实根由于f(x)在上单调递减，在上单调递增，因此f(x)在上的最小值为f2×lnln>，故方程f(x)在上没有实数根综上可知，方程f(x)有且只有一个实数根3(20xx·河北石家庄一模)已知函数f(x)ex3x3a(e为自然对数的底数，aR)(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln，且x>0时，>x3a.解：(1)由f(x)ex3x3a，xR，知f(x)ex3，xR，令f(x)0，得xln3，于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln3)ln3(ln3，)f(x)0f(x)3(1ln3a)故f(x)的单调递减区间是(，ln3，单调递增区间是ln3，)，f(x)在xln3处取得极小值，极小值为f(ln3)eln33ln33a3(1ln3a)(2)证明：待证不等式等价于ex>x23ax1，设g(x)exx23ax1，xR，于是g(x)ex3x3a，xR.由(1)及a>lnln31知，g(x)的最小值为g(ln3)3(1ln3a)>0.于是对任意xR，都有g(x)>0，所以g(x)在R内单调递增于是当a>lnln31时，对任意x(0，)，都有g(x)>g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)>0.即ex>x23ax1，故>x3a.4(20xx·河南郑州一模)已知函数f(x).(1)讨论函数yf(x)在x(m，)上的单调性；(2)若m，则当xm，m1时，函数yf(x)的图象是否总在函数g(x)x2x图象上方？请写出判断过程解：(1)f(x)，当x(m，m1)时，f(x)<0，当x(m1，)时，f(x)>0，所以f(x)在(m，m1)上单调递减，在(m1，)上单调递增(2)由(1)知f(x)在m，m1上单调递减，所以其最小值为f(m1)em1.因为m，g(x)在m，m1上的最大值为(m1)2m1，所以下面判断f(m1)与(m1)2m1的大小，即判断ex与(1x)x的大小，其中xm1.令m(x)ex(1x)x，m(x)ex2x1，令h(x)m(x)，则h(x)ex2，因为xm1，所以h(x)ex2>0，m(x)单调递增又m(1)e3<0，me4>0，故存在x0，使得m(x0)ex02x010.所以m(x)在(1，x0)上单调递减，在上单调递增，所以m(x)m(x0)e x0xx02x01xx0xx01，所以当x0时，m(x0)xx01>0，即ex>(1x)x，即f(m1)>(m1)2m1，所以函数yf(x)的图象总在函数g(x)x2x图象上方1(20xx·新课标全国卷)设函数f(x)lnxx1.()讨论f(x)的单调性；()证明当x(1，)时，1<<x；()设c>1，证明当x(0,1)时，1(c1)x>cx.解：()由题设，f(x)的定义域为(0，)，f(x)1，令f(x)0，解得x1.当0<x<1时，f(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f(x)<0，f(x)单调递减()证明：由()知f(x)在x1处取得最大值，最大值为f(1)0.所以当x1时，lnx<x1.故当x(1，)时，lnx<x1，ln<1，即1<<x.()证明：由题设c>1，设g(x)1(c1)xcx，则g(x)c1cxlnc，令g(x)0.解得x0.当x<x0时，g(x)>0，g(x)单调递增；当x>x0时，g(x)<0，g(x)单调递减由()知1<<c，故0<x0<1.又g(0)g(1)0，故当0<x<1时，g(x)>0.所以当x(0,1)时，1(c1)x>cx.2(20xx·河南郑州质检)设函数f(x)x2mlnx，g(x)x2(m1)x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当m0时，讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)，当m0时，f(x)>0，所以函数f(x)的单调递增区间是(0，)，无单调递减区间当m>0时，f(x)，当0<x<时，f(x)<0，函数f(x)单调递减；当x>时，f(x)>0，函数f(x)单调递增综上：当m0时，函数f(x)的单调递增区间是(0，)，无单调递减区间；当m>0时，函数f(x)的单调递增区间是(，)，单调递减区间是(0，)(2)令F(x)f(x)g(x)x2(m1)xmlnx，x>0，问题等价于求函数F(x)的零点个数当m0时，F(x)x2x，x>0，有唯一零点；当m0时，F(x)，当m1时，F(x)0，函数F(x)为减函数，注意到F(1)>0，F(4)ln4<0，所以F(x)有唯一零点当m>1时，0<x<1或x>m时，F(x)<0；1<x<m时，F(x)>0，所以函数F(x)在(0,1)和(m，)上单调递减，在(1，m)上单调递增，注意到F(1)m>0，F(2m2)mln(2m2)<0，所以F(x)有唯一零点当0<m<1时，0<x<m或x>1时，F(x)<0；m<x<1时，F(x)>0，所以函数F(x)在(0，m)和(1，)上单调递减，在(m,1)上单调递增，易得lnm<0，所以F(m)(m22lnm)>0，而F(2m2)mln(2m2)<0，所以F(x)有唯一零点综上，函数F(x)有唯一零点，即两函数图象有一个交点