高等代数第5章习题解
第五章习题解答习题5.11、用消元法解下列线性方程组:(1)(2)(3) (4) 解：（1）原方程组无解。（2）所以 （3）即 所以原方程组的通解为：（4）所以有即方程组的通解为2、当a、b取何值时,下列线性方程组有解,并求其解。(1) (2) 解（1）所以当时方程组有无穷多解。此时方程组的通解为（2）对增广矩阵施行行变换：所以当时，方程组有解。此时通解为3、当取何值时，下列线性方程组有解、有无穷多解、无解？（1） （2）解：（1）所以当时，方程组无解；当时方程组有无穷多解；当且时，方程组有唯一解。（2），当时，方程组无解；当时，上面的矩阵继续变换成：，此时时方程组无解；当时，方程组有唯一解。综上所述，当或时方程组无解；当且时方程组有唯一解。4、当取何值时，下列齐次线性方程组有非零解？（1） （2）解：（1）所以当或时，方程组有非零解。（2）所以当或时，方程组有非零解。习题5.21、求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并写出全部解（1） （2）解：（1）分别取和，得基础解系为全部解为（2）分别取和，得基础解系为全部解为2、判断下列线性方程组是否有解：如有解，求出它的全部解（1） （2）解：（1）所以方程组的全部解为 （2）原方程组可以写成所以方程组的全部解为 3、试证明：如果是方程组的解，那么也是该方程组的解，其中满足证明：记则方程组用矩阵形式表示为，依题意有那么 所以，也是该方程组的解4、如果是某个齐次线性方程组的基础解系，试问：是否也是该方程组的一个基础解系？解：答案是肯定的，事实上是某个齐次线性方程组的基础解系，则线性无关，此时也线性无关，并且设是的任意解，而即的任意解都可以由线性表示，所以也是该方程组的一个基础解系。5、证明齐次线性方程组的任意个线性无关的解都是它的一个基础解系，这里r是系数矩阵A的秩。证明：设是所给方程组的一个基础解系，是它的任意个线性无关的解，则可以由线性表出，由§4.3的习题5知这两个向量组等价，从而也是方程组的基础解系。6、证明线性方程组有唯一解的充分必要条件是它的导出组只有零解。注：这是一个错题，充分性不成立。证明：由于所给方程组只有唯一解，所以它的系数矩阵和增广矩阵的秩都必然为n，此时应有。那么对应的齐次方程组中，必然有个方程是由其余方程通过初等变换得到的，去掉这个方程后，剩余的n元n个齐次方程构成的方程组的系数行列式不为零，所以它只有零解。充分性不成立。事实上：下面的非齐次线性方程组的导出组只有零解，但方程组本身却无解。
