基本不等式的证明.doc

重要不等式及其应用教案教学目的(1)使学生掌握基本不等式a2b22ab(a、bR，当且仅当a=b时取“=”号)和a3b3c33abc(a、b、cR+，当且仅当a=b=c时取“=”号)及其推论，并能应用它们证明一些不等式(2)通过对定理及其推论的证明与应用，培养学生运用综合法进行推理的能力教学过程一、引入新课师：上节课我们学过证明不等式的哪一种方法？它的理论依据是什么？生：求差比较法，即师：由于不等式复杂多样，仅有比较法是不够的我们还需要学习一些有关不等式的定理及证明不等式的方法如果a、bR，那么(ab)2属于什么数集？为什么？生：当ab时，(ab)20，当a=b时，(ab)2=0，所以(ab)20即(ab)2R+0师：下面我们根据(ab)2R+0这一性质，来推导一些重要的不等式，同时学习一些证明不等式的方法二、推导公式1奠基师：如果a、bR，那么有(ab)20把左边展开，得a22abb20，a2b22ab式表明两个实数的平方和不小于它们的积的2倍这就是课本中介绍的定理1，它是一个很重要的绝对不等式，对任何两实数a、b都成立由于取“=”号这种特殊情况，在以后有广泛的应用，因此通常要指出“=”号成立的充要条件式中取等号的充要条件是什么呢？师：充要条件通常用“当且仅当”来表达“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的所以式可表述为：如果a、bR，那么a2b22ab(当且仅当a=b时取“=”号)以公式为基础，运用不等式的性质推导公式，这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法以公式为基础，用综合法可以推出更多的不等式现在让我们共同来探索2探索师：公式反映了两个实数平方和的性质，下面我们研究两个以上的实数的平方和，探索可能得到的结果先考查三个实数设a、b、cR，依次对其中的两个运用公式，有a2b22ab；b2c22bc；c2a22ca把以上三式叠加，得a2b2c2abbcca(当且仅当a=b=c时取“=”号)以此类推：如果aiR，i=1，2，n，那么有(当且仅当a1=a2=an时取“=”号)式是式的一种推广式，式就是式中n=2时的特殊情况和式不必当作公式去记，但从它们的推导过程中可以学到一种处理两项以上的和式问题的数学思想与方法迭代与叠加3再探索师：考察两个以上实数的更高次幂的和，又能得到什么有趣的结果呢？先考查两个实数的立方和由于a3b3=(ab)(a2abb2)，启示我们把式变成a2abb2ab，两边同乘以ab，为了得到同向不等式，这里要求a、bR+，得到a3b3a2bab2考查三个正实数的立方和又具有什么性质呢？生：由式的推导方法，再增加一个正实数c，对b、c，c、a迭代式，得到b3c3b2cbc2，c3a3c2aca2三式叠加，并应用公式，得2(a3b3c3)a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)a·2bcb·2cac·2ab=6abca3b3c33abc(当且仅当a=b=c时取“=”号)师：这是课本中的不等式定理2，即三个正实数的立方和不小于它们的积的3倍同学们可能想到n个正实数的立方和会有什么结果，进一步还会想到4个正数的4次方的和会有什么结果，直至n个正数的n次方的和会有什么结果这些问题留给同学们课外去研究4推论师：直接应用公式和可以得到两个重要的不等式(当且仅当a=b时取“=”号)这就是课本中定理1的推论(当且仅当a=b=c时取“=”号)这就是课本中定理2的推论当aiR+(i=1，2，n)时，有下面的推广公式(在中学不讲它的证明)(当且仅当a1=a2=an时取“=”号)何平均数式表明：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这是一个著名的平均数不等式定理现在只要求同学掌握n=2、3时的两个公式，即和三、小结(1)我们从公式出发，运用综合法，得到许多不等式公式，其中要求同学熟练掌握的是公式、它们之间的关系可图示如下：(2)上述公式的证法不止综合法一种比如公式和，在课本上是用比较法证明的又如公式也可以由推出；用还可以推出；由、也可以推出、但是不论哪种推导系统，其理论基础都是实数的平方是非负数四个公式中，、是基础，最重要它们还可以用几何法或三角法证明几何法：构造直角三角形ABC，使C=90°，BC=a，AC=b(a、bR+)，则a2b2=c2表示以斜边c为边的正方形的面积而如上左图所示，显然有(当且仅当a=b时取“=”号，这时RtABC等腰，如上右图)这个图是我国古代数学家赵爽证明勾股定理时所用过的“勾股方圆图”，同学们在初中已经见过三角法：在RtABC中，令C=90°， AB=c， BC=a，AC=b，则2ab=2·c sin A· c sin B=2c2sinAcos A=c2·sin2Ac2=a2b2 (sin2A1)(当且仅当sin2A=1，A=45°，即 a=b时取“=”号)三、应用公式练习1判断正误：下列问题的解法对吗？为什么？如果不对请予以改正a、bR+若tg、ctgR+解法就对了这时需令是第一、三象限的角改条件使a、bR+；改变证法a2abb22abab=3ab师：解题时，要根据题目的条件选用公式，特别注意公式中字母应满足的条件只有公式、对任何实数都成立，公式、都要求字母是正实数(事实上对非负实数也成立)2填空：(1)当a_时，anan_；(3)当x_时，lg2x1_；(5)tg2ctg2_；(6)sinxcosx_；师：从上述解题中，我们可以看到：(1)对公式中的字母应作广义的理解，可以代表数，也可以代表式子公式可以顺用，也可以逆用总之要灵活运用公式(2)上述题目中右边是常数的，说明左边的式子有最大或最小值因此，在一定条件下应用重要不等式也可以求一些函数的最大(小)值(3)重要不等式还可以用于数值估计如表明任何自然数的算术平方根不大于该数加1之半四、布置作业略教案说明1知识容量问题这一节课安排的内容是比较多的，有些是补充内容这是我教重点中学程度比较好的班级时的一份教案实践证明是可行的，效果也比较好对于普通班级则应另当别论补充内容(一般式，几何、三角证法等)可以不讲，例题和练习也须压缩但讲完两个定理及其推论，实现教学的基本要求仍是可以做到的还应看到学生接受知识的能力也非一成不变的同是一节课，讲课重点突出，深入浅出，富有启发性，学生就有可能举一反三、触类旁通，获取更多的知识知识容量增加了，并未增加学生的负担从整个单元来看，由于压缩了讲课时间，相应的就增加了课堂练习的时间反之，如果学生被动听讲，目标不清，不得要领，内容讲得再少，学生也是难以接受的由此可见，知识容量的多少，既与学生的程度有关，与教学是否得法也很有关系我们应当尽可能采用最优教法，扩大学生头脑中的信息容量，以求可能的最佳效果2教学目的问题近年来，随着教改的深入，教师在确定教学目的和要求时，开始追求传授知识和培养能力并举的课堂教学效果在培养学生的能力方面，不仅要求学生能够运用知识，更重要的是通过自己的思考来获取知识据此，本节课确定如下的教学目的：一是在知识内容上要求学生掌握四个公式；二是培养学生用综合法进行推理的能力当然，学生能力的形成和发展，绝不是一节课所能“立竿见影”的它比掌握知识来得慢，它是长期潜移默化的教学结果考虑到中学数学的基本知识，大量的是公式和定理，如能在每一个公式、定理的教学中，都重视把传授知识与开拓思维、培养能力结合起来，天长日久，肯定会收到深远的效果3教材组织与教法选用问题实现上述教学目的，关键在于组织好教材，努力把传授知识与开拓思维、培养能力结合起来教材中对定理1和定理2的安排，可能是为了与前面讲的比较法和配方法相呼应但这容易使人感到这两个定理之间没有什么内在联系，又似乎在应用定理时才能用综合法事实上，可以用比较法证明两个数的平方和或三个数的立方和的不等式，但当n3，特别对n是奇数时，用比较法就困难了(因为这时难以配方与分解因式)因此不具有一般性而对综合法，学生在初中证几何题时已多次用过了(只是课本上没有提到这个名称)现行课本中两个不等式定理及其推论，是著名的平均值不等式：和它的等价形式当n=2，3时的特殊情况(当n=2时，ai的取值有所变化)在中学不讲一般形式，只讲特殊情况是符合大纲要求的由于普遍性总是寓于特殊性之中，因此，这两个特例应是一般式的基础同时，这两个特例之间应有紧密的联系，在推导方法上也应该与一般式的证明有共性这就是本教案的设计思想，因而改变了现行课本的证法这里，我们用由定理1先推出一个辅助不等式a3b3a2bab2，然后经迭代、叠加，推出不等式a3b3c33abc，这种方法具有一般性事实上，引入一个一般的辅助不等式anbnan-1babn-1(n1)，由迭代、叠加，再应用数学归纳法就可以证出公式正因为上述证法具有一般性，即揭示了证法的本质(共性)，就必然有利于递推与探索又由(ab)20非常容易推出a2b22ab，所以它是“天然”的奠基式于2ab，因此，凡能用配方法证明的问题，必能用基本不等式证明，反之亦真可见配方法的重要作用它的重要性应在上一节比较法中就予以强调当学生在教师的指导下和教师一起探索问题时，这个探索本身就是培养学生今后独立去获取知识的过程