空间向量及其运算知识总结

空间向量及其运算1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 注：空间的一个平移就是一个向量向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量*空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2. 空间向量的运算=云b ； OP =九 a (九 e R)定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下OB = OA + AB = a + b ； BA = OA OBB'DCAB运算律：加法交换律：a + b = b + a加法结合律：（a + b）+ c = a +（b + c）数乘分配律：九（a + b）=九a +九b3. 平行六面体：平行四边形ABCD平移向量a到a，b，c'd，的轨迹所形成的几何体， 叫做平行六面体，并记作：ABCD- a，b，c它的六个面都是平行四边 形，每个面的边叫做平行六面体的棱.4. 平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量.由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线 上，所以平行向量也叫做共线向量.向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数入，使b =入a. 要注意其中对向量 a 的非零要求5 +共线向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.a平行于b记作a / b .当我们说向量a、b共线（或a/b丿时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线， 也可能是平行直线、6. 共线向量定理：空间任意两个向量a、b（ b工0），a/b的充要条件是存在实数儿使a =久b.推论：如果i为经过已知点a且平行于已知非零向量a的直线， 对于任意一点O，点 p在直线i上的充要条件是存在实数t满足等式OP = OA + t a、其中向量a叫做直线l的方向向量.空间直线的向量参数表示式：OP = OA + t a 或 OP = OA + t （OB OA ） = （1 t） OA + tOB ，一 1 一 中点公式OP =(OA + OB )27. 向量与平面平行：已知平面a和向量a，作OA = a， 如果直线OA平行于a或在a内，那么我们说向量a平行于 平面a，记作：a / a .通常我们把平行于同一平面的向量, 叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的8. 共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，p与向量a, b共面的充要条件是存在实数x, y使p =xa + yb +推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x, y，使MP = xMA -yMB 或对空间任一点O，有OP = OM + xMA + yMB或 O P = xO A + yO B + zO M , （ x + y + z = 1）上面式叫做平面MAB的向量表达式-9 空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序 实数组 x, y, z，使 p = xa + yb + zC “若三向量a,b,c不共面，我们把a,b,c叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空间任意三 个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设O, A, B, C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x, y, z，使OP = xO A + yOB + zOC »10 .空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b，在空间任取一点o，作oa = a,OB = b，则 zaob叫做向量a与b的夹角，记作< a,b > ；且规定o << a,b >< n，显然有< a,b >=< b,a > ；c ncc若< a, b >=，则称a与b互相垂直，记作：a丄b .211. 向量的模：设oa = a，则有向线段oa的长度叫做向量a的长度或模，记作：I a i.12. 向量的数量积：已知向量a,b，则I a i-1b i- cos< a b >叫做a,b的数量积，记作a -b，即-*>>a - b = I a I - Ib I- cos< a b >.已知向量AB = a和轴l , e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A'，作点B在l上的射影B'，则A' B，叫做向量AB在轴l上或在eI A' B = I A B I c oc s a >=a、e13. 空间向量数量积的性质：（i） a - e = I a I cos < a,e > . （2） a 丄 b o a -b = 0. （3）14. 空间向量数量积运算律：（1）（九a）-b =九（a -b）= a -（九b）. （2） a -b = b -a （父换律）.（3）a -（b + c）= a -b + a -c （分配律）空间向量的直角坐标及其运算1 ”空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直且长为1，这个基底叫单位正交 基底，用i, j, k表示；（2丿在空间选定一点O和一个单位正交基底i, j,k，以点O为原点，分别以 i, j,k 的方向为正方向建立三条数轴： x 轴、 y 轴、 z 轴，它 们都叫坐标轴'我们称建立了 一个空间直角坐标系O - xyz，点O叫原点， 向量 i, j,k 都叫坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称 为 xOy 平面， yOz 平面， zO x 平面；2空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O - xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数 组（x, y, z），使OA = xi +yy荻 ，有序实数组（x, y, z）叫作向量A在空间 直角坐标系O - xyz中的坐标，记作A（x, y, z）， x叫横坐标，y叫纵坐标， z 叫竖坐标常见坐标系yk/0 j 正方体：如图所示，正方体ABCD - A 'B 'C 'D '的棱长为a，一般选C一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标”4 *模长公式:则丨 a 1= S' a - a若 a = (a , a , a )，,123=' a 2 + a 2 + a 2123b = (b , b , b ) ，123I b 1= b - b = b 2 + b 2 + b 2123择点D为原点，DA、DC、DD '所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D - xyz， 则各点坐标为亦可选 A 点为原点.在长方体中建立空间直角坐标系与之类似. 正四面体：如图所示，正四面体A - BCD的棱长为a，一般选择A在A BCD上的射影为原点, OC、OD （或OB ）、OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O - xyz，则各点坐标为 正四棱锥：如图所示，正四棱锥P - ABCD的棱长为a，一般选择点P在平面ABCD的射影为原点，OA （或OC ）、OB （或OD ）、OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O - xyz，则各点坐标为 正三棱柱：如图所示，正三棱柱ABC - A 'B 'C '的底面边长为a， 高为h，一般选择AC中点为原点，OC (或OA )、OB、OE( E为O 在A ' C '上的射影)所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标 系 O - xyz， 则各点坐标为3. 空间向量的直角坐标运算律：(1) 若 a = (a , a , a )， b = (b , b , b )，贝 U123123a + b = (a + b , a + b , a + b )，112233a 一 b = (a 一 b , a 一 b , a 一 b )， 九 a =(九 a ,九 a ,九 a )(X e R)，112233123a - b = a b + a b + a b ， a / b o a = X b , a = X b , a = X b (X e R)，1 12 23 3112233a 丄 b o a b + a b + a b = 0 .1 12 23 3(2) 若 A(x , y , z )， B(x , y , z )，则 AB = (x x , y y , z z ).贝II AB 1=帚AB2x x )2 + (y y )2 + (z z )2，或 d2 1 2 1 2 1A,B=£(x x )2 + (y y )2 + (z z )22 1 2 1 2 15夹角公式=2 + a 6.两点间的距离公式：若A(x , y , z )， B(x , y , z )， + a 2；b 2 + b 2 + b 2123123空间向量应用一、直线的方向向量把直线上任意两点的向量或 与它平行的向量都 称为直线的方向向量.在空间直角坐标 系中，由 A（x , y , z ）与 B（x , y , z ）确定直线 AB 的方向向量是AB = （x 一 x , y 一 y , z 一 z ）.1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1平面法向量 如果a丄a，那么向量a叫做平面a的法向量.法向量的求解:.二、证明平行问题a a a1、线线平行：证明两直线平行可用a / b o a = Xb , a = Xb , a = Xb （X e R）或a / b or = 2 = 1 1 1 2 2 _ .112233b b b2. 线面平行：直线l的方向向量为a，平面a的法向量为n，且l ，若a丄n即a - n = 0则a / a .3. 面面平行：平面a的法向量为n，平面B的法向量为n ，若n / n即n = X n则a / R .1 2 1 2 1 2三、证明垂直问题1、线线垂直：证明两直线垂直可用a丄b o a -b = a b + a b + a b = 01 12 23 32、线面垂直：直线l的方向向量为a ,平面a的法向量为n ,且l a ,若a / n即a = X n则a丄a .3、面面垂直：平面a的法向量为n，平面R的法向量为n ，若n丄n即n - n = 0则a丄R .1 2 1 2 1 2四、求夹角1、线线夹角：设a = (a , a , a ) b = (b , b , b ) Bw(0°,90°为一面直线所成角，则:a - b =1 a I -1 b I - cos < a, b > ;123123cos < a, b >=cos 0 = I cos < a, b > I .2、线面夹角：如图，已知PA为平面a的一条斜线，n为平面a的一个法向量，过P作平面a的垂 线PO，连结OA则Z PAO为斜线PA和平面a所成的角，记为0易得兀-sin 0 = I sin( 一 < OP, AP >) I = I cos < OP, AP >InJ、Px.厂zvv2-I n - PA I=I cos < n, AP >I = I cos < n, PA >I = 二 »I n II PA I3、面面夹角：设n、n分别是二面角两个半平面a、R的法向