椭圆习题精选精讲

椭 圆（1）第一定义把椭圆从圆中分离椭圆从圆（压缩）变形而来，从而使得椭圆与圆相关而又相异. 它从圆中带来了中心和定长，但又产生了2个新的定点焦点. 准确、完整地掌握椭圆的定义，是学好椭圆、并进而学好圆锥曲线理论的基础.【例1】 若点M到两定点F1（0，-1），F2（0，1）的距离之和为2，则点M的轨迹是 （ ）.椭圆 .直线 .线段 .线段的中垂线.【解析】注意到且故点M只能在线段上运动，即点M的轨迹就是线段，选C.【评注】椭圆的定义中有一个隐含条件，那就是动点到两定点的距离之和必须大于两定点间的距离.忽视这一点，就会错误地选A.（2）勾股数组椭圆方程的几何特征椭圆的长、短半轴a、b和半焦距c，满足.在a、b、c三个参数中，只要已知或求出其中的任意两个，便可以求出第3个，继而写出椭圆方程和它的一切特征数值.椭圆方程的标准式有明显的几何特征，这个几何特征就反映在这个勾股数组上. 所谓解椭圆说到底是解这个勾股数组.【例2】已知圆，圆内一定点（3，0），圆过点且与圆内切，求圆心的轨迹方程. 【解析】如图，设两圆内切于C，动点P（x，y），则A、P、C共线. 连AC、PB，为定长，而A（-3，0），B（3，0）为定点，圆心的轨迹是椭圆.且.所求轨迹方程为：. （3）第二定义椭圆的个性向圆锥曲线共性加盟如果说椭圆第一定义的主要功能是导出了椭圆的方程，那么椭圆的第二定义则给椭圆及其方程给出了深刻的解释.根据这个解释，我们可以方便地解决许多关于椭圆的疑难问题.【例3】已知椭圆，能否在此椭圆位于y轴左侧部分上找一点P，使它到左准线的距离是它到两焦点F1，F2距离的比例中项.【解析】由椭圆方程知：.椭圆的左准线为：.设存在椭圆上一点P（x，y）（x<0）符合所设条件.作PHl于H.令，则有：.但是.又.这与矛盾.故在椭圆左侧上不存在符合题设条件的点. 通法 特法 妙法（1）解析法解析几何存在的理由解析法的实质是用代数的方法学习和研究几何.在解析几何的模式下，平面上任意一条曲线都唯一对应着一个二元方程.反之，根据任意一个二元方程，都可以用描点法唯一地画出它所对应的曲线.因此，可以将几何问题转化为解方程、方程组或不等式.【例4】点P（x，y）在椭圆上，则的最大值为 （ ）A.1 B.-1 C. D. 【解析】设方程（1）表示过椭圆上一点P（x，y）和原点的直线.显然当直线在椭圆上方且与椭圆相切时，最大.将方程（1）代入椭圆方程得： 由于直线与椭圆相切，故方程（2）应有相等二实根.由.k>0，取，选D.【评注】直线与曲线相切的解析意义是相应的一元二次方程有相等二实根，因而可转化为其判别式为零处理；同理，直线与曲线相交要求相应的判别式大于零，相离则要求这个判别式小于零. （2）导数法把方程与函数链接由于解析法往往牵涉到比较繁杂的运算，所以人们在解题中研究出了许多既能减少运算，又能达到解题目的的好方法，导数法就是最为明显的一种.【例5】求证：过椭圆上一点的切线方程为：.【证明一】（解析法）设所求切线方程为：，代入椭圆方程：.化简得：直线与椭圆相切，方程（1）有相等二实根.其判别式=0，即：.化简得：点在椭圆上，方程（2）之判别式.故方程（2）亦有相等二实根，且其根为：.则切线方程为：.再化简即得：.【证明二】（导数法）对方程两边取导数：.则切线方程为：.再化简即得：.【评注】（1）两种证法的繁简相差多大，一看便知（2）这个切线方程的实际意义很大.在有关运算中直接引用这个公式是十分省事的.（3）几何法为解析法寻根朔源减少解析计算的又一个重要手段，是在解题中充分运用平面几何知识.【例6】（07.湖南文科.9题）设分别是椭圆（）的左、右焦点，是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是（ ）A B C D【解析】如图有，设右准线交x轴于H，选D.【例7】已知椭圆和圆总有公共点，则实数的取值范围是 （ ）【解析】如右图椭圆的中心在原点，且长、短半轴分别为a=2，b=1；圆的圆心为C（a，0）且半径R=1.显然，当圆C从椭圆左边与之相切右移到椭圆右边与之相切时都有公共点.此时圆心的横坐标由-3增加到3，故a，选C.在解析几何解体中引入平面几何知识包含两个重要方面，一是恰当地运用平面几何知识及其推理功能，二是利用图形变换去进行数量的分析与计算.（4）转移法将生疏向熟知化归做数学题如果题题都从最原始的地方起步，显然是劳神费力且违反数学原则的.不失时机地运用前此运算成果就成为数学思想的本质特点.而转移法正是这一思想的具体体现.【例8】（06.全国一卷.20题）在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点，离心率为的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x,y轴的交点分别为A,B且向量OM=OA+OB.试求点M的轨迹方程【分析】点P在已知轨迹（椭圆在第一象限的部分）上，是主动点；点M在未知轨迹上，且随着点P的运动而运动，是被动点.故本例是典型的国际已知轨迹求未知轨迹，适合用坐标转移法解之.此外，过椭圆上一点P的切线方程，可以直接运用例5的结论.【解析】椭圆的半焦距，离心率.又椭圆的焦点在y轴上，故其方程为：. 设点P的坐标为那么过点P的椭圆切线方程为：在方程（2）中，令y=0，得.设点M的坐标为.由OM=OA+OBÞ，代入（1）：.，所求点M的轨迹方程是：.转移法求轨迹方程的基本步骤是：（1）在已知轨迹上任取一点M（x0，y0），并写出其满足的已知关系式；（2）设P（x，y）为待求轨迹上一点，并根据题设条件求出两个坐标的关系式；（3）用x，y的代数式分别表示x0，y0，代入（1）中的关系式化简即得.（5）三角法与解析法珠联璧合三角学的资源丰富，方法灵活.在解析几何解题中适当引入三角知识，优点多多.例如椭圆方程的三角形式是：，既将点的坐标中的两个变量减少为一个，又可以利用三角的优势去解决解析几何中的疑难.【例9】若P是椭圆上的点，F1和F2是焦点，则的最大值和最小值分别是【解析】椭圆的长、短半轴分别为a=2，b=，半焦距c=1.焦点坐标分别为：F1（-1，0），F2（1，0）.设椭圆上一点为，那么.同理；.于是故所求最大值为4，最小值是3.【例10】如图1，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线l的方程为：x = 12。（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上任取三个不同点，使，证明为定值，并求此定值.【分析】本题选自07.重庆卷.22题，是压轴题.难度很大.动手前一定要选择好恰当的破题路径，否则将陷入繁杂的计算而不得自拔. 有关的3条线段都是焦半径，企图用椭圆的第一定义或两点距离公式出发将是徒劳的.正确 的解题途径是：（1）利用椭圆的第二定义；（2）题中有3个相等的角度，应不失时机地引入三角知识.【解析】椭圆的半焦距c=3，右准线x = 12图2.故椭圆方程为：，其离心率.如图2设为椭圆上符合条件的三点，令.作P1H1于H1，令，设P1Fx=则P2Fx=+120°P3Fx= 120°-.于是，而.同理：.于是，故为定值.如果读者有极坐标的有关知识，则本题的解法将更为简洁圆锥曲线的极坐标方程是：.其中e是椭圆的离心率，p是相应焦点到准线的距离，是极径与极轴的夹角.巧用定义求椭圆中四类最值问题圆锥曲线的定义既是推导圆锥曲线标准方程的依据，又是用来解决一些问题的重要方法，一般情况下，当问题涉及焦点或准线，且用其它方法不易求解时，可考虑运用定义求解，下面以椭圆为例归纳四类最值问题。一、的最值若A为椭圆内一定点（异于焦点），P是C上的一个动点，F是C的一个焦点，e是C的离心率，求的最小值。例1. 已知椭圆内有一点A（2，1），F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的动点，求的最小值。分析：注意到式中的数值“”恰为，则可由椭圆的第二定义知等于椭圆上的点P到左准线的距离。这种方法在本期椭圆中减少运算量的主要方法一文中已经介绍过，这里不再重复，答案为。二、的最值若A为椭圆C内一定点（异于焦点），P为C上的一个动点，F是C的一个焦点，求的最值。例2. 已知椭圆内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求的最大值与最小值。解：如图1，设椭圆的右焦点为，可知其坐标为（3，0）图1由椭圆的第一定义得：可知，当P为的延长线与椭圆的交点时，最大，最大值为，当P为的延长线与椭圆的交点时，最小，最小值为。故的最大值为，最小值为。三、的最值若A为椭圆C外一定点，为C的一条准线，P为C上的一个动点，P到的距离为d，求的最小值。例3. 已知椭圆外一点A（5，6），为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到的距离为d，求的最小值。解：如图2，设F为椭圆的左焦点，可知其坐标为图2根据椭圆的第二定义有：，即可知当P、F、A三点共线且P在线段AF上时，最小，最小值。故的最小值为10。四、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值例4. 定长为的线段AB的两个端点分别在椭圆上移动，求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离。解：设F为椭圆的右焦点，如图3，作于A”，BB”于B”，MM”于M”图3则当且仅当AB过焦点F时等号成立。故M到椭圆右准线的最短距离为。评注：是椭圆的通径长，是椭圆焦点弦长的最小值，是AB能过焦点的充要条件。椭圆中减少运算量的主要方法椭圆中减少运算量提高计算速度有多种方法，以下的四种主要方法比较常用，能够有效地减少运算量，希望同学们切实掌握。一、追根溯源，回归定义椭圆中许多性质都是由定义派生出来的，如果能够从其定义出发，挖掘它的性质，把定量的计算和定性的分析有机地结合起来，则可以大大地减少运算量。例1. （全国高中数学联赛）给定A（-2，2），已知B是椭圆上的动点，F是左焦点，当取得最小值时，求B点坐标。分析：如果设点B的坐标，再求则计算量相当大，而如果利用椭圆的第二定义，把转化为B点到左准线的距离就简单的多。解：由已知椭圆方程得：，左准线为。如图1，过B点作左准线的垂线，垂足为N。过A点作此准线的垂线，垂足为M。根据椭圆的第二定义得：则（为定值）当且仅当B点是线段AM与椭圆的交点时等号成立。可解得B点的坐标是二、充分运用平面几何性质结合平面几何的知识解决椭圆中的有关问题，也是避免繁杂运算的有效途径之一。例2. 椭圆的焦点为，点P为其上的动点。当为钝角时，点P的横坐标的取值范围是_。分析：用为钝角的充要条件和焦半径公式以及余弦定理解题，最后因计算量过大均可能造成繁解或错解。而充分运用平面几何性质则会得以简解。解：依题意以原点为圆心，为半径作圆，则是圆的直径。若P点在圆外，则为锐角；若P点在圆上，则为直角；若P点在圆内，则为钝角。联立消去得：故即为所求。