高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念学案 新人教A版选修22

1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2 导数的概念学习目标：1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率(重点)3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数(重点、难点)4.理解函数的平均变化率，瞬时变化率及导数的概念(易混点)自 主 预 习·探 新 知1函数的平均变化率(1)函数yf(x)从x1到x2的平均变化率为，其中xx2x1是相对于x1的一个“增量”，yf(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)是相对于f(x1)的一个“增量”(2)平均变化率的几何意义设A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)是曲线yf(x)上任意不同的两点，函数yf(x)的平均变化率为割线AB的斜率，如图1­1­1所示图1­1­1思考：x，y的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？提示 x，y可正可负，y也可以为零，但x不能为零平均变化率可正、可负、可为零2瞬时速度与瞬时变化率(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度(2)函数f(x)在xx0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0x的平均变化率在x0时的极限即 .3导数的概念函数yf(x)在xx0处的导数就是函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率，记作f(x0)或y| xx0，即f(x0) .基础自测1思考辨析(1)函数yf(x)在xx0处的导数值与x值的正、负无关()(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间x1，x2上变化快慢的物理量()(3)在导数的定义中，x，y都不可能为零()提示：(1)由导数的定义知，函数在xx0处的导数只与x0有关，故正确(2)瞬时变化率是刻画某一时刻变化快慢的物理量，故错误(3)在导数的定义中，y可以为零，故错误答案(1)(2)×(3)×2函数yf(x)，自变量x由x0改变到x0x时，函数的改变量y为() 【导学号：31062000】Af(x0x)Bf(x0)xCf(x0)·xDf(x0x)f(x0)Dyf(x0x)f(x0)，故选D.3若一质点按规律s8t2运动，则在一小段时间2,2.1内的平均速度是()A4B4.1 C0.41D1.1B4.1，故选B.4函数f(x)x2在x1处的瞬时变化率是_解析f(x)x2.在x1处的瞬时变化率是 (2x)2.答案25函数f(x)2在x6处的导数等于_解析f(6) 0.答案0合 作 探 究·攻 重 难求函数的平均变化率已知函数f(x)3x25，求f(x)：(1)从0.1到0.2的平均变化率；(2)在区间x0，x0x上的平均变化率. 【导学号：31062001】解(1)因为f(x)3x25，所以从0.1到0.2的平均变化率为0.9.(2)f(x0x)f(x0)3(x0x)25(3x5)3x6x0x3(x)253x56x0x3(x)2.函数f(x)在区间x0，x0x上的平均变化率为6x03x.规律方法1.求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量xx2x1；第二步，求函数值的增量yf(x2)f(x1)；第三步，求平均变化率.2.求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率，可用的形式.跟踪训练1如图1­1­2，函数yf(x)在A，B两点间的平均变化率等于()图1­1­2A1B1C2D2B平均变化率为1.故选B.2已知函数yf(x)2x2的图象上点P(1,2)及邻近点Q(1x,2y)，则的值为() 【导学号：31062002】A4B4xC42x2D42xD42x.故选D.求瞬时速度探究问题1物体的路程s与时间t的关系是s(t)5t2，如何计算物体在1,1t这段时间内的平均速度？提示：s5(1t)2510t5(t)2，105t.2当t趋近于0时，探究1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？提示：当t趋近于0时，趋近于10，这时的平均速度即为当t1时的瞬时速度某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)t2t1表示，求物体在t1 s时的瞬时速度思路探究解3t， (3t)3.物体在t1处的瞬时变化率为3.即物体在t1 s时的瞬时速度为3 m/s.母题探究：1.(变结论)在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度解求物体的初速度，即求物体在t0时的瞬时速度1t， (1t)1.物体在t0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1 m/s.2(变结论)在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.解设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.又(2t01)t. (2t01t)2t01.则2t019，t04.则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.规律方法求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量t和位移改变量ss(t0t)s(t0).(2)求平均速度.(3)求瞬时速度，当t无限趋近于0时，f(s,t)无限趋近于常数v，即为瞬时速度.求函数在某一点处的导数(1)设函数yf(x)在xx0处可导，且 1，则f(x0)等于()A1B1C D(2)求函数f(x)x在x1处的导数思路探究(1)类比f(x0) 求解(2)(1)C 3f(x0)1，f(x0)，故选C.(2)y(1x)x1x，1，f(1) 2.规律方法求函数yf(x)在点x0处的导数的三个步骤简称：一差、二比、三极限跟踪训练3已知f(1)2，则 _. 【导学号：31062003】解析f(1)2， 2 2f(1)2×(2)4.答案44求函数y3x2在x1处的导数解yf(1x)f(1)3(1x)236x3(x)2，63x，f(1) (63x)6.当 堂 达 标·固 双 基1一物体的运动方程是s32t，则在2,2.1这段时间内的平均速度是()A0.4B2 C0.3D0.2B2.2物体自由落体的运动方程为s(t)gt2，g9.8 m/s2，若v9.8 m/s，那么下列说法中正确的是() 【导学号：31062004】A9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速率B9.8 m/s是1 s到(1t)s这段时间内的速率C9.8 m/s是物体在t1 s这一时刻的速率D9.8 m/s是物体从1 s到(1t)s这段时间内的平均速率C结合平均变化率与瞬时变化率可知选项C正确3函数f(x)在x1处的导数为_解析yf(1x)f(1)1，f(1) .答案4设f(x)在x0处可导，若 A，则f(x0)_.解析 3 3f(x0)A.故f(x0)A.答案5在曲线yf(x)x23上取一点P(1,4)及附近一点(1x,4y)，求：(1)；(2)f(1). 【导学号：31062005】解(1)2x.(2)f(1) (2x)2.6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375