专题三十三 枚举法

专题三十三 枚举法指点迷津：有些数学题所给的条件或问题所求的情况比较多，数量关系比 较隐蔽，已知条件和问题之间的关系不明显，我们可根据题目的要求，按照一 定的步骤或分成有限的类型，将每一个对象逐一地列举出来，再进行分析，这 种方法叫枚举法或列举法。应用枚举法必须注意枚举不遗漏、不重复。 例 1 从 1100 的自然数中，每次取出两个数，要使它们的和大于 100，共有多少种取法？ 思路提示：可从两个数的和大于 100 的角度按一定的顺序进行分析解答。例 2 一个学生暑假在 A、B、C 三个城市游览，他今天在这个城市， 明天就到另一个城市。假设他第一天在 A 市，第五天又回到 A 市，则他有 几种不同的游览方案？ 思路提示：此题可借助树形图，确保不重复、不遗漏。例 3 甲、乙、丙、丁四个队进行足球循环赛。结果甲队胜丁队，并且 甲、乙、丙三队胜的场数相同。丁队胜了多少场？ 思路提示：由于是循环赛，因此四个队共赛了 6 场，可利用枚举法。例 4 小马虎给五位朋友写信。由于粗心，在把信装入信封时弄错了， 结果五位朋友都没收到小马虎写给自己的信，而是收到他给别的朋友的信。 请问一共有多少种可能情形？ 思路提示：可用编号 1、2、3、4、5 表示五位朋友应该收到的信，用 a1、a2、a3、a4、a5表示他们实际收到的信的编号，于是问题就转化成 a11、a22、a33、a44、a55 的问题。练 1 将 3 封信投到 4 个邮筒中，1 个邮筒最多投 1 封信，有（ ）种 不同的投放方法。练 2 如右图所示，从 1 到 7 共有（ ）条路线。练 3 从 1、2、3、4、5 这五个数中选出 4 个数分 别填入右图的空方格内，使得右边的数比左边的数大， 下面的数比上面的数大，那么共有（ ）种不同的填法。练 4 右图中的大正方形被分割成 9 个相同的小 正方形，它们一共有 16 个顶点，不在同一条直线上的 3 个顶点可以构成三角形。在这些三角形中，与阴影三 角形面积相同的有（ ）个。练 5 把六个字母 A、A、B、B、C、C 排成一行，使同一字母不相邻， 并且从左至右前三个字母各不相同。这样的排法有（ ）种。练 6 一批长度分别为 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11 的细木条， 它们的数量足够多，从中适当选取 3 根作为三条边，可围成一个三角形。如 果规定底边是 11，共能围成（ ）个不同的三角形。246135767