任意三角形射影定理
任任意意三三角角形形射射影影定定理理任意三角形射影定理又称“第一余弦定理 ”: ABC 的三边是 a、b、c,它们所对 的角分别是 A、B、C,则有 ab·cosCc·cosB, bc·cosAa·cosC, ca·cosBb·cosA。 注:以“ab·cosCc·cosB”为例,b、c 在 a 上的射影分别为 b·cosC、c·cosB,故名射影定理。 证明 1:设点 A 在直线 BC 上的射影为点 D,则 AB、AC 在直线 BC 上的射影分别为 BD、CD,且 BD=c·cosB,CD=b·cosC,a=BD+CD=b·cosCc·cosB.同理可证其余。证明 2:由正弦定 理,可得:b=asinB/sinA,c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA =acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosBb·cosA.同理可证其它的。