函数与基本初等函数ⅰ

一抹言整理- 1 -第二编第二编 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 §2.1 函数及其表示基础自测基础自测1. 与函数 f(x)=|x|是相同函数的有 （写出一个你认为正确的即可）.答案答案 y=2x2.设 M=x|0x2，N=y|0y3，给出下列四个图形（如图所示） ，其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的是 .(填序号). 答案答案 3.若对应关系 f:AB 是从集合 A 到集合 B 的一个映射，则下面说法正确的是 （填序号）.A 中的每一个元素在集合 B 中都有对应元素 A 中两个元素在 B 中的对应元素必定不同B 中两个元素若在 A 中有对应元素，则它们必定不同 B 中的元素在 A 中可能没有对应元素答案答案 4.如图所示，三个图象各表示两个变量 x,y 的对应关系，则能表示 y 是 x 的函数的图象是 （填序号）.答案答案 5.已知 f（）=x2+5x,则 f(x)= .x1答案答案 (x0)251 xx例例 1 1 给出下列两个条件：（1）f(+1)=x+2;xx(2)f(x)为二次函数且 f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出 f(x)的解析式.解解 （1）令 t=+1,t1，x=（t-1）2.则 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,即 f(x)=x2-1,x1，+).x（2）设 f(x)=ax2+bx+c (a0),f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c,则 f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.，又 f(0)=3c=3,f(x)=x2-x+3. 22444baa 11ba一抹言整理- 2 -例例 2 2（1）求函数 f(x)=的定义域； 229)2(1xxxg（2）已知函数 f(2x）的定义域是-1，1 ，求 f(log2x)的定义域.解解 （1）要使函数有意义，则只需要：解得-3x0 或 2x3. ,3302, 090222 xxxxxx则则故函数的定义域是(-3,0）(2,3).(2)y=f(2x)的定义域是-1，1，即-1x1,2x2.21函数 y=f(log2x)中log2x2.即 log2log2xlog24,x4.2122故函数 f(log2x)的定义域为，42例例 3 3（14 分）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为 1 万元/辆，出厂价为 1.2 万元/辆，年销售量为 1 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为 x (0x1)，则出厂价相应提高的比例为 0.75x, 同时预计年销售量增加的比例为 0.6x.已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.（1）写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式；（2）为使本年度利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例 x 应在什么范围内？解解 （1）依题意，本年度每辆摩托车的成本为 1+x(万元)，而出厂价为 1.2×(1+0.75x) (万元)，销售量为 1 000×(1+0.6x)(辆).故利润 y=1.2×(1+0.75x)-(1+x)×1 000×(1+0.6x), 5 分整理得 y=-60x2+20x+200 (0x1). 7 分（2）要保证本年度利润比上一年有所增加，则 y-(1.2-1)×1 0000, 10 分即-60x2+20x+200-2000,即 3x2-x0. 12 分解得 0x，适合 0x1.31故为保证本年度利润比上年有所增加，投入成本增加的比例 x 的取值范围是 0x. 13 分31答答 （1）函数关系式为 y=-60x2+20x+200 (0x1).（2）投入成本增加的比例 x 的范围是(0,). 14 分31例例 4 4 已知函数 f(x)=. 0,1, 0, 1, 0,2xxxxx（1）画出函数的图象；（2）求 f(1),f(-1),ff(-1)的值.解解 （1）分别作出 f(x)在 x0,x=0, x0 段上的图象，如图所示，作法略.（2）f(1)=12=1,f(-1)=- =1,ff（-1）=f（1）=1.11 一抹言整理- 3 -1.（1）已知 f（）=lgx，求 f（x） ；12x（2）已知 f（x）是一次函数，且满足 3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求 f（x） ；（3）已知 f（x）满足 2f（x）+f（）=3x，求 f（x）.x1解解 (1)令+1=t，则 x=，x2 12 tf（t）=lg，f（x）=lg,x(1,+).12 t12 x（2）设 f（x）=ax+b，则3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17，a=2，b=7，故 f（x）=2x+7.（3）2f（x）+f（）=3x， x1把中的 x 换成，得 2f（）+f（x）= x1 x1 x3×2-得 3f（x）=6x-，f（x）=2x-.x3 x12. 求下列函数的定义域：（1）y=+(2x-3)0; 2)3(log2xx(2)y=log(2x+1)(32-4x).解解 （1）由 . 3log2, 303202032x，xx xxx则则定义域为（-2，log23）(log23,3).(2)定义域为（-,0）（0,）. 021,25, 1120120432x，xxxxx则21 253.等腰梯形 ABCD 的两底分别为 AD=2a，BC=a，BAD=45°，作直线 MNAD 交 AD 于 M，交折线 ABCD 于 N，记 AM=x,试将梯形ABCD 位于直线 MN 左侧的面积 y 表示为 x 的函数，并写出函数的定义域.解解 作 BHAD，H 为垂足，CGAD，G 为垂足，依题意，则有 AH=，AG=a.2a 231当 M 位于点 H 的左侧时,NAB，由于 AM=x，BAD=45°.MN=x.一抹言整理- 4 -y=SAMN=x2（0x）.21 2a（2）当 M 位于 HG 之间时，由于 AM=x，MN=，BN=x-.2a 2ay=S直角梯形 AMNB=x+（x-）=ax-2·21 a 2a 21).23 2(82 axaa（3）当 M 位于点 G 的右侧时，由于 AM=x，MN=MD=2a-x.y=S梯形 ABCD-SMDN=).223(45221)44(21 43)2(21)2(2·21222222axaaaxxxaxaaxaaaa综上：y= aaxaaxxaaxaaxaxx2 ,23 45221.23,28212, 02122224.如右图所示，在直角坐标系的第一象限内，AOB 是边长为 2 的等边三角形，设直线 x=t(0t2)截这个三角形可得位于此直线左方的图形的面积为 f(t),则函数 y=f(t)的图象（如下图所示）大致是 (填序号). 答案答案 一、填空题一、填空题1.设函数 f1(x)=x,f2(x)=x-1,f3(x)=x2,则= .21 )0072(123fff答案答案 007212.（2008·安徽文，安徽文，1313）函数 f(x)=的定义域为 .) 1(log1|21 |2 x答案答案 , 3一抹言整理- 5 -3.若 f(x)=,则 f(-1)的值为 . )6(log)6()3(2xxxxf答案答案 3 4.已知 f(，则 f(x)的解析式为 .2211)11xx xx答案答案 f(x)=212xx5.函数 f(x)= +lg(3x+1)的定义域是 . xx132答案答案 （-，1）316.(2008·陕西理陕西理，11)定义在 R R 上的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,yR R),f(1)=2,则 f(-3)= .答案答案 6 7.已知函数 f(x),g(x)分别由下表给出x123f(x)131则 fg(1)的值为 ，满足 fg(x)gf(x)的 x 的值是 . 答案答案 1 28.已知函数 (x)=f(x)+g(x),其中 f(x)是 x 的正比例函数,g(x)是 x 的反比例函数，且（）=16, (1)=8,则31(x)= .答案答案 3x+x5二、解答题二、解答题9.求函数 f(x)=的定义域. 21)|lg(|xxx解解 由,110010|2 xxxxx则则-1x0.函数 f(x)= 的定义域为（-1,0）. 21)|lg(|xxx10 （1）设 f(x)是定义在实数集 R R 上的函数，满足 f(0)=1,且对任意实数 a、b,有 f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),求 f(x);（2）函数 f(x) (x(-1,1)满足 2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求 f(x).解解 （1）依题意令 a=b=x,则f(x-x)=f(x)-x(2x-x+1),即 f(0)=f(x)-x2-x,而 f(0)=1,f(x)=x2+x+1.（2）以-x 代 x,依题意有2f(-x)-f(x