高二上学期期中考试数学试卷及答案

20132014 学年度上学期期中考试高 二 数 学 试 卷时间：120 分钟 满分：150 分 制卷人： 1下列几何体中是柱体的有( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个解析 根据棱柱定义知，这 4 个几何体都是棱柱答案 D2如图所示图形中，是四棱锥的三视图的是( )解析 A 中俯视图为圆不正确；C 中正侧视图不是三角形，也不正确；而 D 中俯视图为三角形，显然不是四棱锥答案 B3下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )A B C D解析 的三个三视图都是正方形；的正视图与侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆及圆心；的三个视图都不相同；的正视图与侧视图相同，都是等腰三角形，俯视图为正方形答案 D4用斜二测画法画水平放置的ABC 时，若A 的两边平行于 x 轴、y 轴，且A90°，则在直观图中A( )A45° B135°C45°或 135° D90°解析 在画直观图时，A的两边依然分别平行 x轴、y轴，而xOy45°或 135°.答案 C5长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有( )A2 对 B3 对 C6 对 D12 对解析 如图所示，在长方体 AC1中，与对角线 AC1成异面直线位置关系的是：A1D1、BC、BB1、DD1、A1B1、DC，所以组成 6 对异面直线答案 C6若直线 m 不平行于平面 ，且 m，则下列结论成立的是( )A 内的所有直线与 m 异面B 内不存在与 m 平行的直线C 内存在唯一的直线与 m 平行D 内的直线与 m 都相交解析 由题意可知 m 与 相交，故选 B.答案 B7如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别是棱 AA1和 BB1的中点，过 EF的平面 EFGH 分别交 BC 和 AD 于 G，H，则 GH 与 AB 的位置关系是( )A平行 B相交C异面 D平行或异面解析 由长方体性质知：EF平面 ABCDEF平面 EFGH，平面 EFGH平面 ABCDGH，EFGH，又EFAB，GHAB，选 A.答案 A8已知长方体 ABCD-A1B1C1D1，在平面 AB1上任取一点 M，作 MEAB 于 E，则( )AME平面 AC BME 平面 ACCME平面 AC D以上都有可能解析 由于 ME平面 AB1，平面 AB1平面 ACAB，且平面 AB1平面AC，MEAB，则 ME平面 AC.答案 A9若直线 l 经过点(a2，1)和(a2,1)，且与经过点(2,1)，斜率为Error!的直线垂直，则实数 a 的值是( )AError! BError! C.Error! D.Error!解析 由于直线 l 与经过点(2,1)且斜率为Error!的直线垂直，可知 a2a2.klError!Error!，Error!·Error!1，aError!.答案 A10直线 l 的方程为 AxByC0，若 l 过原点和第二、四象限，则( )AC0，且 B0 BC0，B0，A0CC0，AB0 DC0，AB0解析 直线过原点，则 C0，又过第二、四象限，所以斜率为负值，即kError!0，AB0，故选 D.答案 D11已知平面 ，两条直线 l，m 分别与平面 ， 相交于点 A，B，C 和D，E，F，已知 AB6，Error!Error!，则 AC_.解析 ，Error!Error!.由Error!Error!，得Error!Error!，Error!Error!.而 AB6，BC9，ACABBC15.答案 1512已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为 120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为_解析 因为扇形弧长为 2，所以圆锥母线长为 3，高为 2，所求体积VError!××12×2Error!.答案 Error!13若 A(4,2)，B(6，4)，C(12,6)，D(2,12)，则下面四个结论：ABCD，ABCD，ACBD，ACBD.其中正确的序号是_解析 kABError!，kCDError!，kACError!，kBD4，kABkCD，kAC·kBD1，ABCD，ACBD.答案 14已知两条直线 a1xb1y10 和 a2xb2y10 都过点 A(2,1)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程是_解析 点 A(2,1)在直线 a1xb1y10 上，2a1b110.由此可知点 P1(a1，b1)的坐标满足 2xy10.点 A(2,1)在直线 a2xb2y10 上，2a2b210.由此可知点 P2(a2，b2)的坐标也满足 2xy10.过两点 P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程是 2xy10.答案 2xy1015已知直线 l 经过点 A(4，2)，且点 A 是直线 l 被两坐标轴截得的线段中点，则直线 l 的方程为_解析 设直线 l 与两坐标轴的交点为(a,0)，(0，b)，由题意知：Error!4，a8；Error!2，b4.直线 l 的方程为：Error!Error!1，即 x2y80.答案 x2y8016已知一条直线与一个平面平行，求证：经过这个平面内的一点与这条直线平行的直线必在这个平面内解 已知：a，A，Ab，ba.求证：b. 证明 如图，a，A，Aa，由 A 和 a 可确定一个平面 ，则 A， 与 相交于过点 A 的直线，设 c，由 a 知，a 与 无公共点，而 c，a 与 c 无公共点a，c，ac.又已知 ab，有 Ab，Acb 与 c 重合b.17如图所示，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，过 A1，B，C1的平面与平面 ABC 的交线为 l，试判断 l 与直线 A1C1的位置关系，并给以证明解 lA1C1证明 在三棱柱 ABC-A1B1C1中，A1C1AC，A1C1平面 ABC，AC平面ABC，A1C1平面 ABC.又A1C1平面 A1BC1，且平面 A1BC1平面 ABCl，A1C1l.18如图，平面 PAB平面 ABC，平面 PAC平面 ABC，AE平面 PBC，E 为垂足(1)求证：PA平面 ABC；(2)当 E 为PBC 的垂心时，求证：ABC 是直角三角形证明 (1)在平面 ABC 内取一点 D，作 DFAC 于 F，平面 PAC平面 ABC，且交线为 AC，DF平面 PAC.又PA平面 PAC，DFPA.作 DGAB 于 G， 同理可证 DGPA.DGDFD，PA平面 ABC.(2)连接 BE 并延长交 PC 于 H.E 是PBC 的垂心，PCBH，又 AE平面 PBC，故 AEPC，且 AEBEE，PC平面 ABE.PCAB.又PA平面 ABC，PAAB，且 PAPCP，AB平面 PAC，ABAC，即ABC 是直角三角形19已知直线 l1经过点 A(3，a)，B(a2，3)，直线 l2经过点 C(2，3)，D(1，a2)，如果 l1l2，求 a 的值解 设直线 l1，l2的斜率分别为 k1，k2.直线 l2经过点 C(2,3)，D(1，a2)，且 21，l2的斜率存在当 k20 时，k1不存在，a23，则 a5；当 k20 时，即 a5，此时 k10，由 k1·k21，得Error!·Error!1，解得 a6.综上可知，a 的值为 5 或6.20已知ABC 的三个顶点在第一象限，A(1,1)，B(5,1)，A45°，B45°，求：(1)AB 边所在直线的方程；(2)AC 边和 BC 边所在直线的方程解 (1)由题意知，直线 AB 平行于 x 轴，由 A，B 两点的坐标知，直线 AB 的方程为y1.(2)由题意知，直线 AC 的倾斜角等于 A，所以 kACtan 45°1，又点 A(1,1)，所以直线 AC 的方程为 y11×(x1)，即 yx.同理可知，直线 BC 的倾斜角等于 180°B135°，所以 kBCtan 135°1，又点B(5,1)，所以直线 BC 的方程为 y11×(x5)，即 yx6.21已知ABC 的顶点是 A(1，1)，B(3,1)，C(1,6)直线 l 平行于 AB，且分别交 AC，BC 于 E，F，且CEF 的面积是ABC 的面积的Error!.(1)求点 E，F 的坐标；(2)求直线 l 的方程解 (1)设点 E(x1，y1)，F(x2，y2)，因为直线 EFAB，且CEF 的面积是ABC 的面积的Error!，所以 E，F 分别为边 AC，BC 的中点，由中点坐标公式可得点 E 的坐标为 x1Error!0，y1Error!Error!，点 F 的坐标为 x2Error!2，y2Error!Error!，所以 EError!，FError!.(2)因为点 EError!，FError!，由两点式方程，可得直线 l 的方程为Error!Error!，即x2y50.