大学物理习题2

习题二2-1 一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为的物体，另一边穿在质量为的圆1m2m柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳子以匀加速度下滑，求，相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩a1m2m擦力(绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计)解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为，其对于则为牵连加速度，又知1a2m对绳子的相对加速度为，故对地加速度，由图(b)可知，为2ma2maaa12又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力在数值上等于绳的张力，由牛顿定律，fT有111amTgm222amgmT联立、式，得212121121 221221 1)2()()(mmagmmTfmmamgmmammamgmma讨论 (1)若，则表示柱体与绳之间无相对滑动0 a21aa (2)若，则，表示柱体与绳之间无任何作用力，此时, 均作自由ga20 fT1m2m落体运动题 2-1 图2-2 一个质量为的质点，在光滑的固定斜面（倾角为）上以初速度运动，的方向P0v0v与斜面底边的水平线平行，如图所示，求这质点的运动轨道AB解: 物体置于斜面上受到重力，斜面支持力.建立坐标：取方向为轴，平行斜mgN0vvX面与轴垂直方向为轴.如图 2-2.XY题 2-2 图方向： X0xFtvx0方向： YyymamgFsin时 0t0y0yv2sin21tgy由、式消去 ，得t2 2 0sin21xgvy2-3 质量为16 kg 的质点在平面内运动，受一恒力作用，力的分量为6 xOyxfN，-7 N，当 0时，0，-2 m·s-1，0求yft yxxvyv当 2 s时质点的 (1)位矢；(2)速度t解： 2sm83 166mfax x2sm167mfay y(1)201 01200sm872167sm452832dtavvdtavvyyyxxx于是质点在时的速度s21sm87 45jivvvv(2)m87 4134)167(21)483 2122(21)21(22 0jijijtaitatvryxvvvvvvv2-4 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力(为常数)作用， =0时质点的kvkt速度为，证明(1) 时刻的速度为；(2) 由0到 的时间内经过的距离为0vtvtmk ev)(0t()1-；(3)停止运动前经过的距离为；(4)证明当时速xkmv0tmk e)()(0kmvkmt 度减至的，式中m为质点的质量0ve1答: (1) tv mkvadd分离变量，得mtk vvdd即 vvtmtk vv00ddmktevv lnln0 tmkevv0(2) tttmk mkekmvtevtvx 00 0)1 (dd(3)质点停止运动时速度为零，即 t，故有 00 0dkmvtevxtmk(4)当 t=时，其速度为kmevevevvkm mk01 00即速度减至的.0ve12-5 升降机内有两物体，质量分别为，且2用细绳连接，跨过滑轮,绳1m2m2m1m子不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速g上升时，求：a21(1) 和相对升降机的加速度(2)在地面上观察，的加速度各为多少?1m2m1m2m解: 分别以,为研究对象，其受力图如图(b)所示1m2m(1)设相对滑轮(即升降机)的加速度为，则对地加速度；因绳不可伸2ma2maaa2长，故对滑轮的加速度亦为，又在水平方向上没有受牵连运动的影响，所以在1ma1m1m水平方向对地加速度亦为，由牛顿定律，有a)(22aamTgmamT1题 2-5 图联立，解得方向向下ga (2) 对地加速度为2m方向向上22gaaa在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速度，即1m牵相绝aaavvv' gggaaa25 42 222 1，左偏上aa arctano6 .2621arctan2-6一质量为的质点以与地的仰角=30°的初速从地面抛出，若忽略空气阻力，求质m0vv点落地时相对抛射时的动量的增量 解: 依题意作出示意图如题 2-6 图题 2-6 图 在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向 下,而抛物线具有对轴对称性，故末速度与轴夹角亦为，则动量的增量为yxo300vmvmpvvv由矢量图知，动量增量大小为，方向竖直向下0vmv2-7 一质量为的小球从某一高度处水平抛出，落在水平桌面上发生弹性碰撞并在抛m 出1 s，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也与抛出时相等求小球与桌面碰撞 过程中，桌面给予小球的冲量的大小和方向并回答在碰撞过程中，小球的动量是否守恒?解: 由题知，小球落地时间为因小球为平抛运动，故小球落地的瞬时向下的速度大s5 . 0小为，小球上跳速度的大小亦为设向上为轴正向，则动量ggtv5 . 01gv5 . 02y的增量方向竖直向上，12vmvmpvvv大小 mgmvmvp)(12v碰撞过程中动量不守恒这是因为在碰撞过程中，小球受到地面给予的冲力作用另外， 碰撞前初动量方向斜向下，碰后末动量方向斜向上，这也说明动量不守恒2-8 作用在质量为10 kg的物体上的力为N，式中 的单位是s，(1)求4s后，itFv)210(t这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量(2)为了使这力的冲量为200 N·s，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度m·s-1的物体,回jv6答这两个问题 解: (1)若物体原来静止，则,沿轴正向，itittFptvvvv10401smkg56d)210(dxipIimpv vvvvvv1 1111 1smkg56sm6 . 5若物体原来具有初速，则61sm于是tttFvmtmFvmpvmp 000000d)d(,vvvvvvv,tptFppp 0102dvvvvv同理， ,12vvvv12IIvv这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大， 那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理 (2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即tttttI 0210d)210(亦即 0200102tt解得，(舍去)s10ts20 t2-9 一质量为的质点在平面上运动，其位置矢量为mxOyj tbi tarvvvsincos求质点的动量及 0 到时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量t 2t解: 质点的动量为)cossin(j tbi tamvmpvvvv将和分别代入上式，得0t 2t, ,j bmpvv1i ampvv2则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为)(12j bi ampppIvvvvvv2-10 一颗子弹由枪口射出时速率为，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为 1 0smvF =()N(为常数)，其中 以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，bta ba,t试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量(3)求子弹的质量 解: (1)由题意，子弹到枪口时，有,得0)(btaFbat (2)子弹所受的冲量tbtattbtaI 02 21d)(将代入，得bat baI22 (3)由动量定理可求得子弹的质量0202bva vIm2-11 一炮弹质量为，以速率飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药mv使弹片增加的动能为，且一块的质量为另一块质量的倍，如两者仍沿原方向飞行，试Tk 证其速率分别为+, -vmkT2vkmT2证明: 设一块为，则另一块为，1m2m及21kmm mmm21于是得 1,121kmmkkmm又设的速度为, 的速度为，则有1m1v2m2v22 222 1121 21 21mvvmvmT2211vmvmmv联立、解得12) 1(kvvkv将代入，并整理得2 1)(2vvkmT于是有 kmTvv21将其代入式，有mkTvv22又，题述爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，故只能取kmTvvmkTvv2,221证毕2-12 设(1) 当一质点从原点运动到时，求所N67jiFvvv合m1643kjirvvvvFv作的功(2)如果质点到处时需0.6s，试求平均功率(3)如果质点的质量为1kg，试求动r 能的变化解: (1)由题知，为恒力，合Fv )1643()67(kjijirFAvvvvvvv合J452421(2) w756 . 0 45tAP(3)由动能定理，J45AEk2-13 以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在 铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1 cm，问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打 击铁钉时的速度相同 解: 以木板上界面为坐标原点，向内为坐标正向，如题 2-13 图，则铁钉所受阻力为y题 2-13 图kyf第一锤外力的功为1A sskykyyfyfA1012ddd式中是铁锤作用于钉上的力，是木板作用于钉上的力，在时，f f0d tf f设第二锤外力的功为，则同理，有2A212 22221dykkyykyA由题意，有2)21(2 12kmvAA即 22212 2kkky所以， 22y于是钉子第二次能进入的深度为cm414. 01212yyy2-14 设已知一质点(质量为)在其保守力场中位矢为点的势能为, 试求mrn PrkrE/)(质点所受保守力的大小和方向解: 1d)(d)(nrnk rrErF方向与位矢的方向相反，即指向力心rv2-15 一根劲度系数为的轻弹簧的下端，挂一根劲度系数为的轻弹簧，的下1kA2kBB端一重物，的质量为，如题2-15图求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性CCM 势 能之比解: 弹簧及重