假设法解鸡兔同笼问题

鸡兔同笼问题与假设法 鸡兔同笼问题是按照题目的内容涉及到鸡与兔而命名的，它是一类有名的中国古算题。许 多小学算术应用题，都可以转化为鸡兔同笼问题来加以计算。例 1 小梅数她家的鸡与兔，数头有 16 个，数脚有 44 只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？分析：假设 16 只都是鸡，那么就应该有 2×1632（只）脚，但实际上有 44 只脚， 比假设的情况多了 44-3212（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们 以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了 2 只。因 此只要算出 12 里面有几个 2，就可以求出兔的只数。解：有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只） ，有鸡 16-610（只） 。答：有 6 只兔，10 只鸡。当然，我们也可以假设 16 只都是兔子，那么就应该有 4×1664（只）脚，但实际上 有 44 只脚，比假设的情况少了 644420（只）脚，这是因为把鸡当作兔了。我们以鸡 去换兔，每换一只，头的数目不变，脚数减少了 4-22（只） 。因此只要算出 20 里面有几 个 2，就可以求出鸡的只数。有鸡（4×16-44）÷（4-2）=10（只） ，有兔 16106（只） 。由例 1 看出，解答鸡兔同笼问题通常采用假设法，可以先假设都是鸡，然后以兔换鸡； 也可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。因此这类问题也叫置换问题。例 2 100 个和尚 140 个馍，大和尚 1 人分 3 个馍，小和尚 1 人分 1 个馍。问：大、小和尚 各有多少人？分析与解：本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。如果将大和尚、小和尚 分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。假设 100 人全是大和尚，那么共需馍 300 个，比实际多 300140160（个） 。现在以 小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少 312（个） ，因为160÷280，故小和尚有 80 人，大和尚有1008020（人） 。同样，也可以假设 100 人都是小和尚，同学们不妨自己试试。在下面的例题中，我们只给出一种假设方法。例 3 彩色文化用品每套 19 元，普通文化用品每套 11 元，这两种文化用品共买了 16 套， 用钱 280 元。问：两种文化用品各买了多少套？分析与解：我们设想有一只“怪鸡”有 1 个头 11 只脚，一种“怪兔”有 1 个头 19 只 脚，它们共有 16 个头，280 只脚。这样，就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。假设买了 16 套彩色文化用品，则共需 19×16304（元） ，比实际多 304 28024（元） ，现在用普通文化用品去换彩色文化用品，每换一套少用 19118（元） ， 所以买普通文化用品 24÷8=3（套） ，买彩色文化用品 16313（套） 。例 4 鸡、兔共 100 只，鸡脚比兔脚多 20 只。问：鸡、兔各多少只？分析：假设 100 只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚 200 只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多 200 只，而实际上只多 20 只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多20020=180（只） 。现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少 2 只，兔脚增加 4 只，即鸡脚比兔脚多的脚数中 就会减少 426（只） ，而 180÷630，因此有兔子 30 只，鸡 1003070（只） 。解：有兔（2×10020）÷（24）30（只） ，有鸡 10030=70（只） 。答：有鸡 70 只，兔 30 只。例 5 现有大、小油瓶共 50 个，每个大瓶可装油 4 千克，每个小瓶可装油 2 千克，大瓶比 小瓶共多装 20 千克。问：大、小瓶各有多少个？分析：本题与例 4 非常类似，仿照例 4 的解法即可。解：小瓶有（4×50-20）÷（42）30（个） ，大瓶有 50-3020（个） 。答：有大瓶 20 个，小瓶 30 个。例 6 一批钢材，用小卡车装载要 45 辆，用大卡车装载只要 36 辆。已知每辆大卡车比每辆 小卡车多装 4 吨，那么这批钢材有多少吨？分析：要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。利用假设法，假设只用 36 辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多 装 4 吨，所以要剩下 4×36=144（吨） 。根据条件，要装完这 144 吨钢材还需要 45- 36=9（辆）小卡车。这样每辆小卡车能装 144÷916（吨） 。由此可求出这批钢材有多少 吨。解：4×36÷（45-36）×45720（吨） 。答：这批钢材有 720 吨。例 7 乐乐百货商店委托搬运站运送 500 只花瓶，双方商定每只运费 0.24 元，但如果发 生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿 1.26 元，结果搬运站共得运费 115.5 元。问：搬运过程中共打破了几只花瓶？分析：假设 500 只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费 0.24×500=120（元） 。实际上只得到 115.5 元，少得 120-115.5=4.5（元） 。搬运站每打破一 只花瓶要损失 0.241.261.5（元） 。因此共打破花瓶 4.5÷1.53（只） 。解：（0.24×500115.5）÷（0.241.26）3（只） 。答：共打破 3 只花瓶。例 8 小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了 2 分钟，然后两人各跳了 3 分钟，一共跳了 780 下。已知小喜比小乐每分钟多跳 12 下，那么小喜比小乐共多跳了多少下？ 分析与解：利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那么两人跳的总数 减少了 12×（23）60（下） 。可求出小乐每分钟跳（78060）÷（233）90（下） ，小乐一共跳了 90×3=270（下） ，因此小喜比小乐共多跳780270×2240（下） 。 练习 131鸡、兔共有头 100 个，脚 350 只，鸡、兔各有多少只？2学校有象棋、跳棋共 26 副，2 人下一副象棋，6 人下一副跳棋，恰好可供 120 个学生进行活动。问：象棋与跳棋各有多少副？3班级购买活页簿与日记本合计 32 本，花钱 74 元。活页簿每本 1.9 元，日记本 每本 3.1 元。问：买活页簿、日记本各几本？4龟、鹤共有 100 个头，鹤腿比龟腿多 20 只。问：龟、鹤各几只？5小蕾花 40 元钱买了 14 张贺年卡与明信片。贺年卡每张 3 元 5 角，明信片每张 2 元 5 角。问：贺年卡、明信片各买了几张？6一个工人植树，晴天每天植树 20 棵，雨天每天植树 12 棵，他接连几天共植树 112 棵，平均每天植树 14 棵。问：这几天中共有几个雨天？7振兴小学六年级举行数学竞赛，共有 20 道试题。做对一题得 5 分，没做或做 错一题都要扣 3 分。小建得了 60 分，那么他做对了几道题？8有一批水果，用大筐 80 只可装运完，用小筐 120 只也可装运完。已知每只大 筐比每只小筐多装运 20 千克，那么这批水果有多少千克？9蜘蛛有 8 条腿，蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀，蝉有 6 条腿和 1 对翅膀。现有三种 小虫共 18 只，有 118 条腿和 20 对翅膀。问：每种小虫各有几只？10鸡、兔共有脚 100 只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚 92 只。问：鸡、 兔各几只？