专题 解直角三角形
专题专题 解直角三角形解直角三角形专题 解直角三角形龙泉二中解直角三角形是近年来中考命题的热点之一，特别是解直角三角形的应用问题，测山高、塔高、船的航行距离、堤坝的横截面等是中考中反复出现的重点，中考中通常以中档题的形式出现，考察的难度适中，分数约 6-10 分，分值占的比例较大，应引起足够的重视。解决此类问题，首先要认真读题，弄清题意，特别是关键字、词；其次要正确地画出图形，将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系；最后，运用“转化“(斜三角形转化为直角三角形)的思想方法，通过建立解直角三角形的数学模型使问题得到解决。由于解直角三角形的内容具有非常丰富的实际背景，在现实中有着广泛的应用，所以应关注身边与此相关的生活实际和社会热点，处处用数学的眼光观察解释周围发生的事物。一、 运用三角函数解直角三角形锐角三角函数的定义本质上揭示了直角三角形中边角之间的关系，它是解直角三角形的基础，每个边角关系式都可看作方程，解直角三角形的思路，实际上就是根据已知条件，正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解方程来求解。例 1、 （1）sin30°cos45°tan60°(2)在 RtABC 中，C=90°, sinA=, AC=,求？二、 有关测量问题：测量类问题涉及仰角和俯角的知识，属于解直角三角形中已知一边和一锐角的类型，无斜边时，应用正切建立方程求解。例 2、 （2008 安徽）小明站在 A 处放风筝，风筝飞到 C 处时的线长20 米，测得CBD=60°,若牵引底端 B 离地面 1.5 米，求此时风筝离地面的高度？即时练习：1、 （2008 成都）某中学九年级（1）班数学课外活动小组利用周末开展课外实践活动，他们在某公园人工湖旁的小山 AB 上测得湖中两个小岛 C、D 的距离。从山顶 A 处测得湖中小岛 C 的俯角为 60°,测得湖中小岛 D 的俯角为 45°,已知小山 AB 的高为 180 米，求小岛 CD 的距离。思路点拨：C、D 间的距离即为 BD 和 CB 的差，分别解两个直角三角形求得 BD 和 CB。2、为申办 2010 年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况，在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树 AB，在地面上事先划定以 B 为圆心，半径 AB 等长的圆形危险区，现有某工人站在离 B 点 3 米远的 D 处，测树的顶端 A 点的仰角为 60°，树的底部 B 点的俯角为 30°，问：距离 B 点 8 米远的保护物是否在危险区内？方法小结：弄清题意，明确目标，将实际问题转化为解直角三角形问题，找出可以求解的直角三角形或构造出可以求解的直角三角形作为解题的突破口。三、有关堤坝横断面的计算问题：堤坝横断面的问题实质是解有关梯形的计算问题，利用坡度可以把有关线段分别与梯形的高建立联系，从而求解。例 4、 （2008 年东莞）梯形 ABCD 是拦水坝的横断面（i=1:是指坡面的铅直高度 DE 与水平高度 CE 的比）B=60°，AB=6，AD=4，求拦水坝的横断面 ABCD 的面积。 （）即时练习：（2008 年遵义）我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地 BCAD，斜坡 AB=40 米，坡角BAD=60°，为防夏季因暴雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过 45°时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚 A 不动，从坡顶 B 沿 BC 削进到 E 处，BE 至少是多少？方法小结：若梯形的内角中有特殊角时，一般过较短的底作梯形的高，将梯形面积问题转化为两个直角三角形和一个矩形的问题。有关四边形的许多问题都可以通过添加适当的辅助线将其转化为三角形的问题，这正体现了数学中的转化思想。四、 有关方位角的问题方位角表示对象所处的方位，要加上长度才能确定物体的位置，注意找准基准点，分清东、南、西、北，理解偏东、偏西的意义。例 5、 （2008 年，自贡）我市准备在相距 2km 的 A、B 两工厂间修建一条笔直的公路，但在 B 地北偏东 60°方向，A 地北偏西 45°方向的 C 处，有一个半径为 0.6km 的住宅小区如图，修建公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？（参考数据： ， ）思路点拨：要判断是否有居民需要搬迁，应看看点 C 与 AB 的距离是否大于 0.6km.方法小结：若三角形的内角（或外角）中有特殊角时，一般过非特殊角的顶点作三角形的高，可构造出含特殊角的直角三角形。即时练习：（2008 年，泸州）在气象台 A 的正西方向 240km 的 B 处有一台风中心，该台风中心以每小时 20km 的速度沿北偏东 60°的BD 方向移动，在距离台风中心 1130km 内的地方都要受到影响。（1） 台风中心在移动过程中与气象台 A 的最短距离是多少？（2） 台风中心在移动过程中，气象台将受到台风的影响，求台风影响气象台的时间会持续多长？五、 添加辅助线的有关题型：1、 有一块三角形花台，如图所示，求ABC 的面积。2、有一块四角形的土地，如图所示，求四边形 ABCD 的面积。反思小结:1、 易出现不会引进未知数帮助解题，不能灵活地构造直角三角形的思维障碍。解决的办法：在接直角三角形时，若某个元素无法直接求出，往往设未知数，根据三角形中的边角关系列出方程，通过解方程求出所求的元素。2、 不善于把实际问题转化为解直角三角形的问题，思考问题不全面。解决的办法：将实际问题的图形转化为几何图形，将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，明确在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素（至少有一个是边） ，就可以求出另三个元素。
