北京市怀柔区高考数学试卷（理科）

1北京市怀柔区高考数学试卷（理科）北京市怀柔区高考数学试卷（理科）一、选择题（共一、选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 40 分）分）1已知集合 M=x|x1，N=x|2x2，则 MN=（ ）A（，1B1，2）C（1，2D（2，+）2设 i 是虚数单位，则复数 i3=（ ）AiB3iCiD3i3若变量 x、y 满足约束条件，则 z=3xy 的最小值为（ ）A7B1C1D24执行如图的程序框图，若输入的 a，b 的值分别为 0 和 9，则输出的 i 的值为（ ）2A1B2C3D45设an是首项大于零的等比数列，则“a1a2”是“数列an是递增数列”的（ ）A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件6在极坐标系中，圆 =8sin 上的点到直线 =（R）距离的最大值是（ ）A4B7C1D67某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A12B18C24D308为了迎接一年一度的元宵节，某商场大楼安装了 5 个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这 5 个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这 5 个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，且相邻两个闪烁的时间间隔均为 5 秒，如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（ ）A1190 秒 B1195 秒 C1200 秒 D1205 秒二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 30 分）分）39若向量 =（1，1）， =（1，2），则等于 105的展开式中含 x2项的系数是 （用数字作答）11在ABC 中，a=，b=1，A=，则 cosB= 12已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线方程是 y=x，它的一个焦点在抛物线 y2=24x 的准线上，则双曲线的方程为 13甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；乙说：我没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为 14已知函数 f（x）=，若 a=，则函数 g（x）=f（x）1 有 个零点，若存在示数 b，使函数 h（x）=f（x）b 有两个零点，则 a 的取值范围是 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 80 分）分）15（13 分）已知函数 f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x1（1）求函数 f（x）的最小正周期；（2）求函数 f（x）在区间，上的最大值和最小值16（13 分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和现安排甲组研发新产品 A，乙组研发新产品 B，设甲、乙两组的研发4相互独立（）求至少有一种新产品研发成功的概率；（）若新产品 A 研发成功，预计企业可获利润 120 万元；若新产品 B 研发成功，预计企业可获利润 100 万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望17（14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC=45°，PA=AD=2，AC=1（1）证明：PCAD；（2）求二面角 APCD 的正弦值；（3）设 E 为棱 PA 上的点，满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 30°，求 AE 的长18（13 分）已知函数 f（x）=ax+lnx（aR）（1）求 f（x）的单调区间；（2）设 g（x）=x22x+2，若对任意 x1（0，+），均存在 x20，1，使得f（x1）g（x2），求实数 a 的取值范围19（14 分）已知椭圆 E 过点 A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点 F1，F2在 x轴上，离心率 e=，F1AF2的平分线所在直线为 l5（）求椭圆 E 的方程；（）设 l 与 x 轴的交点为 Q，求点 Q 的坐标及直线 l 的方程；（）在椭圆 E 上是否存在关于直线 l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由20（13 分）已知元素为实数的集合 S 满足下列条件：0S，1S；若aS，则S（1）已知 2S，试求出 S 中的其它所有元素；（2）若3，3S，求使元素个数最少的集合 S；（3）若非空集合 S 为有限集，则你对集合 S 的元素个数有何猜测？并请证明你的猜测正确6北京市怀柔区高考数学模试卷（理科）北京市怀柔区高考数学模试卷（理科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（共一、选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 40 分）分）1已知集合 M=x|x1，N=x|2x2，则 MN=（ ）A（，1B1，2）C（1，2D（2，+）【考点】交集及其运算【分析】先分别求出集合 M，N，由此利用交集定义能求出 MN【解答】解：集合 M=x|x1，N=x|2x2，MN=x|1x2=1，2）故选：B【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用2设 i 是虚数单位，则复数 i3=（ ）AiB3iCiD3i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则即可得出【解答】解：原式=i=i，故选：A7【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3若变量 x、y 满足约束条件，则 z=3xy 的最小值为（ ）A7B1C1D2【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为 A，联立，解得 C（0，1）由解得 A（2，1），由，解得 B（1，1）z=3xy 的最小值为 3×（2）1=7故选：A8【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题易错点是图形中的 B 点4执行如图的程序框图，若输入的 a，b 的值分别为 0 和 9，则输出的 i 的值为（ ）A1B2C3D4【考点】程序框图【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出9变量 i 的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：输入的 a，b 的值分别为 0 和 9，i=1第一次执行循环体后：a=1，b=8，不满足条件 ab，故 i=2；第二次执行循环体后：a=3，b=6，不满足条件 ab，故 i=3；第三次执行循环体后：a=6，b=3，满足条件 ab，故输出的 i 值为：3，故选 C【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答5设an是首项大于零的等比数列，则“a1a2”是“数列an是递增数列”的（ ）A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由已知中an是首项大于零的等比数列，结合充要条件的定义，可得答案【解答】解：an是首项大于零的等比数列，则“a1a2”“q1“数列an是递增数列”，即“a1a2”是“数列an是递增数列”的充要条件，故选：A【点评】本题考查的知识点是充要条件，正确理解充要条件的概念是解答的关键106在极坐标系中，圆 =8sin 上的点到直线 =（R）距离的最大值是（ ）A4B7C1D6【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离 d，即可得出最大值 d+r【解答】解：圆 =8sin，即 2=8sin，化为直角坐标方程：x2+y2=8y，配方为：x2+（y4）2=16可得圆心 C（0，4），半径 r=3直线 =（R）化为直角坐标方程：y=x圆心 C 到直线的距离 d=2，因此圆 =8sin 上的点到直线 =（R）距离的最大值=2+4=6故选：D【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）11A12B18C24D30【考点】由三视图求面积、体积【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断三棱柱的高及消去的三棱锥的高，判断三棱锥与三棱柱的底面三角形的形状及相关几何量的数据，把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算【解答】解：由三视图知：几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：三棱柱的高为 5，消去的三棱锥的高为 3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为 3 和 4 的直角三角形，几何体的体积 V=×3×4×5××3×4×3=306=24故选：C【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键8为了迎接一年一度的元宵节，某商场大楼安装了 5 个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这 5 个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这 5 个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，且相邻两个闪烁的时间间隔均为 5 秒，如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（ ）A1190 秒 B1195 秒 C1200 秒 D1205 秒12【考点】排列、组合的实际应用【分析】根据题意，先依据排列数公式计算彩灯闪烁实的情况数目，进而分析可得彩灯闪烁的总时间以及闪烁之间的间隔总时间，将其相加即可得答案【解答】解：根据题意，共有 5 种不同的颜色，其闪烁的顺序有 A55=120 个不同的闪烁，而每个闪烁时间为 5 秒，闪烁的时间共 5×120=600 秒；每两个闪烁之间的间隔为 5 秒，闪烁间隔的时间 5×（1201）=595 秒那么需要的时间至少是 600+595=1195 秒故选：B【点评】本题考查的是排列、组合的应用，要求把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 30 分）分）9若向量 =（1，1）， =（1，2），则等于 1 【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据平面向量数量积的坐标运算公式，把 =（1，1）， （1，2），代入即可求得结果【解答】解： =（1，1）， （1，2），=1×（1）+1×2=1，故答案为：1【点评】此题是个基础题考查学生对公式掌握的熟练程度10（1+2x）5的展开式中含 x2项的系数是 40 （用数字作答）13【考点】二项式定理的应用【分析】本题是求系数问题，故可以利用通项公式 Tr+1=Cnranrbr来解决，在通项中令 x 的指数幂为 2 可求出含 x2是第几项，由此算出系数为 40【解答】解：由二项式定理的通项公式 Tr+1=Cnranrbr可设含 x2项的项是 Tr+1=C5r15r（2x）r=2rC5rxr，可知 r=2，所以系数为 22C52=40所以答案应填 40【点评】本题主要考查二项式定理中通项公式的应用，属于基础题型，难度系数 0.9一般地通项公式主要应用有求常数项，有理项，求系数，二项式系数等11在ABC 中，a=，b=1，A=，则 cosB= 【考点】正弦定理【分析】由已知利用正弦定理可求 sinB，利用大边对大