2019版高考数学(浙江版)一轮配套讲义：§3.2　导数的应用

WtuWgifWtuWgif1§3.2 导数的应用考纲解读浙江省五年高考统计考点来源:Z。xx。k.Com来源:Zxxk.Com来源:学科网 ZXXK来源:学科网考纲内容要求 201320142015201620171.导数与单 调性1.了解函数单调性和导数的关系.2.会用导数研究函数的单调性.3.会求函数的单调区间.掌握22(2),5 分21(文),4 分22(1),5 分21(文),约 8 分03(2)(自选),5 分7,4 分20(2 ),约 9 分2.导数与极 值、最值1.了解函数极值的概念及函数在某点 取得极值的条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小 值.掌握22(2),5 分8,5 分21(文),约 5 分22,14 分21(文),约 7 分分析解读 1.导数是高考的必考内容.利用导数来研究函数的单调性、极值、最值等问题是命题的热点.2.考查重点是导数与极值、最值、单调区间、图形形状的联系,利用导数证明不等式,求函数零点等,属于难题.3.预计 2019 年高考中,导数的考查必不可少,复习时要引起高度重视.五年高考考点一 导数与单调性1.(2017 山东文,10,5 分)若函数 exf(x)(e=2.718 28是自然对数的底数)在 f(x)的定义域上单调递增,则称函数 f(x)具有 M 性质.下列函数中具有 M 性质的是( )A.f(x)=2-xB.f(x)=x2C.f(x)=3-xD.f(x)=cos x答案 A2.(2015 课标,12,5 分)设函数 f '(x)是奇函数 f(x)(xR)的导函数,f(-1)=0,当 x>0 时,xf '(x)-f(x)0 成立 的 x 的取值范围是( )WtuWgifWtuWgif2A.(-,-1)(0,1)B.(-1,0)(1,+)C.(-,-1)(-1,0)D.(0,1)(1,+)答案 A3.(2017 江苏,11,5 分)已知函数 f(x)=x3-2x+ex- ,其中 e 是自然对数的底数.若 f(a-1)+f(2a2)0,则实数 a 的取值范围是 .1答案 1,124.(2015 浙江自选,“复数与导数”模块,03(2),5 分)设函数 f(x)=(x2+2x-2)ex(xR),求 f(x)的单调递减区间.解析 对 f(x)求导,得 f '(x)=(x2+4x)ex.由 f '(x)0;22当 x(-1+,+)时, f '(x)0),因此 h(x)在0,+)单调递减,而 h(0)=1,故 h(x)1,所以 f(x)=(x+1)h(x)x+1ax+1.当 00(x>0),所以 g(x)在0,+)单调递增,而 g(0)=0,故 exx+1.WtuWgifWtuWgif3当 0(1-x)(1+x)2,(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),取 x0=,5 4 12则 x0(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故 f(x0)>ax0+1.当 a0 时,取 x0=,5 12则 x0(0,1), f(x0)>(1-x0)(1+x0)2=1ax0+1.综上,a 的取值范围是1,+).6.(2016 山东,20,13 分)已知 f(x)=a(x-ln x)+,aR.2 12(1)讨论 f(x)的单调性;(2)当 a=1 时,证明 f(x)>f '(x)+ 对于任意的 x1,2成立.3 2解析 (1)f(x)的定义域为(0,+),f '(x)=a- - + =. 2223(2 2)( 1)3当 a0 时,x(0,1)时,f '(x)>0, f(x)单调递增,x(1,+)时,f '(x)0 时,f '(x)=.( 1)3( 2 )( +2 )01,2 当 x(0,1)或 x时,f '(x)>0, f(x)单调递增,当 x时,f '(x)2 时,00,f(x)单调递增,当 x时,f '(x)2 时,f(x)在内单调递增,在内单调递减,在(1,+)内单调递增.(0,2 )(2 ,1)(2)由(1)知,a=1 时,f(x)-f '(x)=x-ln x+-2 12(1 1 22+23)=x-ln x+ + - -1,x1,2.3 1223设 g(x)=x-ln x,h(x)= + - -1,x1,2.3 1223则 f(x)-f '(x)=g(x)+h(x).由 g'(x)=0,可得 g(x)g(1)=1. 1 当且仅当 x=1 时取得等号.又 h'(x)=. 32 2 + 64设 (x)=-3x2-2x+6,则 (x)在 x1,2内单调递减.因为 (1)=1,(2)=-10,所以x0(1,2),使得 x(1,x0)时,(x)>0,x(x0,2)时,(x)g(1)+h(2)= ,3 2即 f(x)>f '(x)+ 对于任意的 x1,2成立.3 27.(2015 课标,21,12 分)设函数 f(x)=emx+x2-mx.(1)证明: f(x)在(-,0)单调递减,在(0,+)单调递增;(2)若对于任意 x1,x2-1,1,都有|f(x1)-f(x2)|e-1,求 m 的取值范围.解析 (1)证明:f '(x)=m(emx-1)+2x.若 m0,则当 x(-,0)时,emx-10, f '(x)0.若 m0,f '(x)0.所以,f(x)在(-,0)单调递减,在(0,+)单调递增.(2)由(1)知,对任意的 m,f(x)在-1,0单调递减,在0,1单调递增,故 f(x)在 x=0 处取得最小值.所以对于任意 x1,x2-1,1,|f(x1)-f(x2)|e-1 的充要条件是(1) (0) 1, ( 1) (0) 1,?即 1, + 1.?设函数 g(t)=et-t-e+1,则 g'(t)=et-1.当 t0 时,g'(t)>0.故 g(t)在(-,0)单调递减,在(0,+)单调递增.又 g(1)=0,g(-1)=e-1+2-e1 时,由 g(t)的单调性,g(m)>0,即 em-m>e-1;当 m0,即 e-m+m>e-1.综上,m 的取值范围是-1,1.教师用书专用(817)8.(2017 课标全国理,21,12 分)已知函数 f(x)=x-1-aln x.(1)若 f(x)0,求 a 的值;(2)设 m 为整数,且对于任意正整数 n,0,由 f '(x)=1- =知,当 x(0,a)时, f '(x)0.所以 f(x)在(0,a)单调递减,在(a,+)单调递 增.故 x=a 是 f(x)在(0,+)的唯一最小值点.由于 f(1)=0,所以当且仅当 a=1 时, f(x)0.故 a=1.(2)由(1)知当 x(1,+)时,x-1-ln x>0.令 x=1+ ,得 ln2,(1 +1 2)(1 +122)(1 +123)所以 m 的最小值为 3.9.(2017 江苏,20,16 分)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,bR)有极值,且导函数 f '(x)的极值点是 f(x)的零点.(极值点是指 函数取极值时对应的自变量的值)(1)求 b 关于 a 的函数关系式,并写出定义域;(2)证明:b2>3a;(3)若 f(x), f '(x)这两个函数的所有极值之和不小于- ,求 a 的取值范围.7 2解析 本小题主要考查利用导数研究初等函数的单调性、极值及零点问题,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑 推理能力.(1)由 f(x)=x3+ax2+bx+1,得 f '(x)=3x2+2ax+b=3+b- .( + 3)22 3当 x=- 时, f '(x)有极小值 b- . 32 3因为 f '(x)的极值点是 f(x)的零点,所以 f =-+ -+1=0,又 a>0,故 b=+ .( 3)3 273 9 322 93 因为 f(x)有极值,故 f '(x)=0 有实根,从而 b- =(27-a3)0,即 a3.2 31 9当 a=3 时, f '(x)>0(x-1),故 f(x)在 R 上是增函数, f(x)没有极值;当 a>3 时, f '(x)=0 有两个相异的实根 x1=, 2 33x2=. +2 33列表如下:x(-,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+)f '(x)+0-0+f(x)极大值极小值故 f(x)的极值点是 x1,x2.WtuWgifWtuWgif7从而 a>3.因此 b=+ ,定义域为(3,+).22 93 (2)证明:由(1)知,=+.2 93 设 g(t)= + ,则 g'(t)= - =.2 93 2 93222 2792当 t时,g'(t)>0,从而 g(t)在上单调递增.(3 62, + )(3 62, + )因为 a>3,所以 a>3,3故 g(a )>g(3)=,即>.333因此 b2>3a.(3)由(1)知, f(x)的极值点是 x1,x2,且 x1+x2=- a,+=.2 3212242 6 9从而 f(x1)+f(x2)=+a+bx1+1+a+bx2+131213222= (3+2ax1+b)+ (3+2ax2+b)+ a(+)+ b(x1+x2)+2=-+2=0.132123221 321222 343 6 274 9记 f(x), f '(x)所有极值之和为 h(a),因为 f '(x)的极值为 b- =- a2+ ,2 31 93 所以 h(a)=- a2+ ,a>3.1 93 因为 h'(a)=- a- 0(x0),所以函数 f(x)在(-,+)上单调递增;当 a>0 时,若 x(0,+),则 f '(x)>0,若 x,则 f '(x)0,若 x,则 f '(x) 0, 4 2730 时,a3-a+c>0 或当 a0 均恒成立,(1,3 2) (3 2, + )从而 g(-3)=c-10,且 g=c-10,因此 c=1.(3 2)此时,f(x)=x3+ax2+1-a=(x+1)x2+(a-1)x+1-a,因函数 f(x)有三个零点,则 x2+(a-1)x+1-a=0 有两个异于-1 的不等实根,所以 =(a-1)2-4(1-a)=a2+2a-3>0,且(-1)2- (a-1)+1-a0,解得 a(-,-3).综上,c=1.(1,3 2) (3 2, + )11.(2014 课标,21,12 分)已知函数 f(x)=ex-e-x-2x.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)设 g(x)=f(2x)-4bf(x),当 x>0 时,g(x)>0,求 b 的最大值;(3)已知 1.414 20,g(x)>0.(ii)当 b>2 时,若 x 满足 20,23 22ln 2>>0.692 8;8 2 312当 b=+1 时,ln(b-1+)=ln,3 242 22g(ln)=- -2+(3+2)ln 2 -e1-x在区间(1,+)内恒成立(e=2.718为自然对数的底数).1 解析 (1)f '(x)=2ax- =(x