2019版高考数学(浙江版)一轮配套讲义：§6.1　数列的概念和表示方法

WtuWgifWtuWgif1第六章 数 列§6.1 数列的概念和表示方法考纲解读来源:学#科#网浙江省五年高考统计来源:学科网来源:学科网 ZXXK 考点考纲内容要求来源:Zxxk.Com 20132014201520162017数列的概念 和表示方法了解数列的概念和几种表示方 法(列表、图象、通项公式).了解19(文),约 5 分20,约 4 分17(文),7 分13,6 分17(1)(文),7 分22,约 3 分分析解读 1.了解数列的表示方法(如通项公式),并会求已知递推数列的通项公式.几种基本类型的通项公式的求法在高考中常 常出现.2.已知 Sn求 an,特别是讨论 n=1 和 n2 的情形也是高考中重点考查的对象.3.对本节知识的考查往往和其他知识相联系,预计 2019 年高考中会有所涉及.五年高考考点 数列的概念和表示方法1.(2016 浙江,13,6 分)设数列an的前 n 项和为 Sn.若 S2=4,an+1=2Sn+1,nN*,则 a1= ,S5= . 答案 1;1212.(2015 课标,16,5 分)设 Sn是数列an的前 n 项和,且 a1=-1,an+1=SnSn+1,则 Sn= . 答案 -1 3.(2013 课标全国,14,5 分)若数列an的前 n 项和 Sn= an+ ,则an的通项公式是 an= . 2 31 3答案 (-2)n-14.(2015 课标,17,12 分)Sn为数列an的前 n 项和.已知 an>0,+2an=4Sn+3.2(1)求an的通项公式;(2)设 bn=,求数列bn的前 n 项和.1 + 1WtuWgifWtuWgif2解析 (1)由+2an=4Sn+3,2可知+2an+1=4Sn+1+3.2 + 1可得-+2(an+1-an)=4an+1,2 + 12即 2(an+1+an)=-=(an+1+an)(an+1-an).2 + 12由于 an>0,可得 an+1-an=2.又+2a1=4a1+3,解得 a1=-1(舍去)或 a1=3.21所以an是首项为 3,公差为 2 的等差数列,通项公式为 an=2n+1.(6 分)(2)由 an=2n+1 可知bn=.1 + 11 (2 + 1)(2 + 3)1 2(1 2 + 11 2 + 3)设数列bn的前 n 项和为 Tn,则Tn=b1+b2+bn=1 2(1 31 5)+(151 7)+ +(1 2 + 11 2 + 3)=.(12 分) 3(2 + 3)教师用书专用(56)5.(2013 安徽,14,5 分)如图,互不相同的点 A1,A2,An,和 B1,B2,Bn,分别在角 O 的两条边上,所有 AnBn相互平行,且 所有梯形 AnBnBn+1An+1的面积均相等.设 OAn=an.若 a1=1,a2=2,则数列an的通项公式是 . 答案 an=3 26.(2014 广东,19,14 分)设数列an的前 n 项和为 Sn,满足 Sn=2nan+1-3n2-4n,nN*,且 S3=15.(1)求 a1,a2,a3的值;(2)求数列an的通项公式.WtuWgifWtuWgif3解析 (1)依题有1= 1= 22 3 4, 2= 1+ 2= 43 12 8, 3= 1+ 2+ 3= 15,?解得 a1=3,a2=5,a3=7.(2)Sn=2nan+1-3n2-4n,当 n2 时,Sn-1=2(n-1)an-3(n-1)2-4(n-1).-并整理得 an+1=(n2).(2 1)+ 6 + 12由(1)猜想 an=2n+1,下面用数学归纳法证明.当 n=1 时,a1=2+1=3,命题成立;当 n=2 时,a2=2×2+1=5,命题成立;假设当 n=k 时, ak=2k+1 命题成立.则当 n=k+1 时,ak+1=(2 1)+ 6 + 12=(2 1)(2 + 1) + 6 + 1 2=2k+3=2(k+1)+1,即当 n=k+1 时,结论成立.综上,nN*,an=2n+1.三年模拟A 组 20162018 年模拟·基础题组考点 数列的概念和表示方法1.(2018 浙江名校协作体期初,4)已知数列an的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn=2an-3(nN*),则 S6=( )A.192 B.189C.96D.93答案 B2.(2017 浙江名校杭州二中)已知数列an满足 a1=2,an+1=(nN*),设 Tn=a1a2an,则 T2 017的值是 ( )1 + 1 A.-4B.2C.3D.1答案 B3.(2016 浙江模拟训练卷(三),4)已知数列an满足 a1=a2=1,-=1,则 a6-a5的值为( ) + 2 + 1 + 1WtuWgifWtuWgif4A.0B.18C.96D.600答案 C4.(2018 浙江萧山九中 12 月月考,13)在数列an中,a1=2,a2=10,且 an+2=an+1-an(nN*),则 a4= ,数列an的前 2 016 项和为 . 答案 -2;05.(2017 浙江衢州质量检测(1 月),15)在数列an中,a1=1,(n2+2n)(an+1-an)=1(nN*),则通项公式 an= . 答案 -7 42 + 1 2( + 1)6.(2017 浙江镇海中学第一学期期中,11)设数列an的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,=对一切 nN*都成立,则 a2= + 1+ 1+ 1 + 1,= . + 1答案 2;27.(2018 浙江高考模拟卷,22)已知数列an满足 an>0,a1=2,且(n+1)=n+an(nN*).2 + 12(1)证明:an>1;(2)证明: + + 0,所以 an+1-1 与 an-1 符号一致,又 a1-1=1>0,所以 an>1.(7 分)(2)由 an>1,知(n+1)=n+an0,an+1与 an同号,又 a1=1>0,所以 an>0. + 112+ 1=<1,an+1<an, + 112+ 1故数列an是单调递减数列.(4 分)(2)由(1)知 0<ana1=1,= . + 112+ 11 2n2 时,an=a1× × ××1×=.2132 1(1 2) 112 1a1=1 符合上式,故 an,nN*.(1 2) 1则 a1+a2+a3+an1+ +=1×=2-.(8 分)1 2(1 2)2(1 2)3(1 2) 11 (12)1 1 212 1(3)an+1=,=an+ ,= +2+.2+ 11 + 11 12 + 1122an,- 2+.12 112 + 11214 1n2 时, = +1+2(n-1)+1+ + +=2n-1+=2n+ - ×.12121(122121) (123122)(1212 1)1 414214 21 ×(1 14 1)1 1 41 34 314 1即 n2 时, 2n+ - ×.121 34 314 1a1=1 符合上式,故 2n+ - ×,nN*.121 34 314 1 + + + 2(1+2+3+n)+ -12112212312 34 3(1 +1 4+142+ +14 1)=n2+n+ n- ×=n2+ n-+× n2+ n-.(14 分)1 34 31 141 1 44 316 916 9144 316 96.(2017 浙江衢州质量检测(1 月),20)已知数列an满足 a1=1,Sn=2an+1,其中 Sn为an的前 n 项和(nN*).(1)求 S1,S2及数列Sn的通项公式;(2)若数列bn满足 bn=,且bn的前 n 项和为 Tn,求证:当 n2 时, |Tn| .( 1) 1 37 9WtuWgifWtuWgif7解析 (1)易知 S1=a1=1,且 S1=2a2,所以 a2= ,S2=a1+a2= .1 23 2因为 Sn=2an+1,所以 Sn=2an+1=2(Sn+1-Sn),即 3Sn=2Sn+1,显然 Sn0,所以= ,即数列Sn是以 1 为首项, 为公比的等比数列,所以 Sn=(nN*). + 13 23 2(3 2) 1(2)证明:由(1)知,bn=-1×=-,( 1) ( 1) 1(3 2) 1(2 3) 1|Tn|=-1×1+-+ +-n-1.2 34 9( 2 3)32 3而当 n2 时,1- 1+-+ +1+-+= ,2 32 34 9( 2 3)3( 1) 1( 3 2) 12 34 97 9即 |Tn| .1 37 9C 组 20162018 年模拟·方法题组方法 递推数列求通项公式的解题策略1.设 Sn是数列an的前 n 项和,已知 a1=1,nan+1=2Sn,则 an= . 答案 n2.若数列an满足:a1=1,且 an+1= an+(nN*),那么这个数列的通项公式是 . 1 212 1答案 an=2 12 13.根据下面数列an的首项和递推关系,探求其通项公式.(1)a1=1,an=2an-1+1 (n2);(2)a1=1,an=an-1+3n-1(n2);(3)a1=1,an=an-1(n2). 1 解析 (1)an=2an-1+1an+1=2(an-1+1)(n2),a1+1=2,故 an+1=2n,an=2n-1(n2).n=1 时满足此式,故 an=2n- 1(nN*).(2)an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=3n-1+3n-2+32+3+1= (3n-1)(n2).n=1 时满足此式,故1 2an= (3n-1)(nN*).1 2WtuWgifWtuWgif8(3)=(n2),an=···· ·a1=···· ·1= (n2).n=1 时满足此式,故 an= (nN*). 1 1 1 1 2 2 321 1 2 1 3 21 21 1