2019版高考数学（理科，课标A版）一轮复习讲义：§4.5　解三角形

WtuWgifWtuWgif1§4.5 解三角形考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.正弦定理 和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理,并能 解决一些简单的三角形度量问 题掌握2017 山东,9;2017 浙江,14;2017 天津,15;2017 北京,15;2016 课标全国,13;2016 天津,3;2015 天津,13选择题填空题2.正、余弦 定理的应用能够运用正弦定理、余弦定理 等知识和方法解决一些与测量 和几何计算有关的实际问题掌握2017 课标全国,17;2017 课标全国,17;2017 江苏,18;2016 课标全国,8;2016 山东,16;2016 浙江,16;2015 湖北,13解答题分析解读 1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关量的问题,需要综合应用两个定理及三角形有关知 识.2.正弦定理和余弦定理的应用比较广泛,也比较灵活,在高考中常与面积或取值范围结合进行考查.3.会利用数学建模思想,结 合三角形的知识,解决生产实践中的相关问题.五年高考考点一 正弦定理和余弦定理1.(2017 山东,9,5 分)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若ABC 为锐角三角形,且满足 sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是( )A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A答案 A2.(2016 天津,3,5 分)在ABC 中,若 AB=,BC=3,C=120°,则 AC=( )A.1B.2C.3D.4答案 A3.(2017 浙江,14,5 分)已知ABC,AB=AC=4,BC=2.点 D 为 AB 延长线上一点,BD=2,连接 CD,则BDC 的面积是 ,cosBDC= .答案 ;WtuWgifWtuWgif24.(2016 课标全国,13,5 分)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos A=,cos C=,a=1,则 b= . 答案 5.(2017 天津,15,13 分)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a>b,a=5,c=6,sin B=.(1)求 b 和 sin A 的值;(2)求 sin 的值.解析 (1)在ABC 中,因为 a>b,所以由 sin B=,可得 cos B=.由已知及余弦定理,有 b2=a2+c2-2accos B=13,所以 b=.由正弦定理=,得 sin A=.所以,b 的值为,sin A 的值为.(2)由(1)及 ab,则B=( )A.B.C.D.答案 A8.(2013 天津,6,5 分)在ABC 中,ABC=,AB=,BC=3,则 sinBAC=( )A.B.C.D.答案 C9.(2013 湖南,3,5 分)在锐角ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b.若 2asin B=b,则角 A 等于( )WtuWgifWtuWgif3A.B.C.D.答案 D10.(2015 天津,13,5 分)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知ABC 的面积为 3,b-c=2,cos A=-,则 a 的值为 .答案 811.(2015 重庆,13,5 分)在ABC 中,B=120°,AB=,A 的角平分线 AD=,则 AC= . 答案 12.(2015 广东,11,5 分)设ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a=,sin B=,C=,则 b= . 答案 113.(2015 福建,12,4 分)若锐角ABC 的面积为 10,且 AB=5,AC=8,则 BC 等于 . 答案 714.(2014 广东,12,5 分)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 bcos C+ccos B=2b,则= . 答案 215.(2014 天津,12,5 分)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 b-c=a,2sin B=3sin C,则 cos A 的值为 . 答案 -16.(2014 福建,12,4 分)在ABC 中,A=60°,AC=4,BC=2,则ABC 的面积等于 . 答案 217.(2013 安徽,12,5 分)设ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c.若 b+c=2a,3sin A=5sin B,则角 C= . 答案 18.(2013 浙江,16,4 分)在ABC 中,C=90°,M 是 BC 的中点.若 sinBAM=,则 sinBAC= . 答案 19.(2014 辽宁,17,12 分)在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a>c.已知·=2,cos B=,b=3.求:(1)a 和 c 的值;(2)cos(B-C)的值.解析 (1)由·=2 得 c·acos B=2,又 cos B=,所以 ac=6.由余弦定理,得 a2+c2=b2+2accos B.又 b=3,所以 a2+c2=9+2×2=13.解得 a=2,c=3 或 a=3,c=2.因 a>c,所以 a=3,c=2.WtuWgifWtuWgif4(2)在ABC 中,sin B=,由正弦定理,得 sin C=sin B=×=.因 a=b>c,所以 C 为锐角,因此 cos C=.于是 cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=×+×=.20.(2013 山东,17,12 分)设ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a+c=6,b=2,cos B=.(1)求 a,c 的值;(2)求 sin(A-B)的值.解析 (1)由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B 得 b2=(a+c)2-2ac(1+cos B),又 b=2,a+c=6,cos B=,所以 ac=9,解得 a=3,c=3.(2)在ABC 中,sin B=,由正弦定理得 sin A=.因为 a=c,所以 A 为锐角,所以 cos A=.因此 sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=.21.(2013 重庆,20,12 分)在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 a2+b2+ab=c2.(1)求 C;(2)设 cos Acos B=,=,求 tan 的值.解析 (1)因为 a2+b2+ab=c2,由余弦定理有 cos C=-,故 C=.(2)由题意得=,因此(tan sin A-cos A)(tan sin B-cos B)=,tan2sin Asin B-tan (sin Acos B+cos Asin B)+cos Acos B=,tan2sin Asin B-tan sin(A+B)+cos Acos B=.因为 C=,A+B=,所以 sin(A+B)=,因为 cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B,即-sin Asin B=,解得 sin Asin B=-=.由得 tan2-5tan +4=0,解得 tan =1 或 tan =4.WtuWgifWtuWgif5考点二 正、余弦定理的应用1.(2016 课标全国,8,5 分)在ABC 中,B=,BC 边上的高等于 BC,则 cos A=( )A.B.C.-D.-答案 C2.(2017 课标全国,17,12 分)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sin(A+C)=8sin2.(1)求 cos B;(2)若 a+c=6,ABC 的面积为 2,求 b.解析 本题考查了三角公式的运用和余弦定理的应用.(1)由题设及 A+B+C= 得 sin B=8sin2,故 sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得 17cos2B-32cos B+15=0,解得 cos B=1(舍去),cos B=.(2)由 cos B=得 sin B=,故 SABC=acsin B=ac.又 SABC=2,则 ac=.由余弦定理及 a+c=6 得 b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2××=4.所以 b=2.3.(2016 浙江,16,14 分)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若ABC 的面积 S=,求角 A 的大小.解析 (1)由正弦定理得 sin B+sin C=2sin Acos B,故 2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是 sin B=sin(A-B).又 A,B(0,),故 08B.ab(a+b)>16C.6abc12D.12abc24答案 A7.(2015 湖北,13,5 分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向上, 行驶 600 m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75°的方向上,仰角为 30°,则此山的高度 CD= m. 答案 1008.(2013 福建,13,4 分)如图,在ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,ADAC,sinBAC=,AB=3,AD=3,则 BD 的长为 . WtuWgifWtuWgif7答案 9.(2017 江苏,18,16 分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为 32 cm,容器的底面对角线AC 的长为 10 cm,容器的两底面对角线 EG,E1G1的长分别为 14 cm 和 62 cm.分别在容器和容器中注入水,水深均为 12 cm.现有一根玻璃棒 l,其长度为 40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将 l 放在容器中,l 的一端置于点 A 处,另一端置于侧棱 CC1上,求 l 没入水中部分的长度;(2)将 l 放在容器中,l 的一端置于点 E 处,另一端置于侧棱 GG1上,求 l 没入水中部分的长度.解析 (1)由正棱柱的定义,CC1平面 ABCD,所以平面 A1ACC1平面 ABCD,CC1AC.记玻璃棒的另一端落在 CC1上点 M 处.因为 AC=10,AM=40,所以 MC=30,从而 sinMAC=.记 AM 与水面的交点为 P1,过 P1作 P1Q1AC,Q1为垂足,则 P1Q1平面 ABCD,故 P1Q1=12,从而 AP1=16.答:玻璃棒 l 没入水中部分的长度为 16 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为 24 cm)(2)如图,O,O1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义,OO1平面 EFGH,所以平面 E1EGG1平面 EFGH,O1OEG.同理,平面 E1EGG1平面 E1F1G1H1,O1OE1G1.记玻璃棒的另一端落在 GG1上点 N 处.WtuWgifWtuWgif8过 G 作 GKE1G1,K 为垂足,则 GK=OO1=32.因为 EG=14,E1G1=62,所以 KG1=24,从而 GG1=40.设EGG1=,ENG=,则 sin =sin=cosKGG1=.因为0,所以 c=3.故ABC 的面积为 bcsin A=.解法二:由正弦定理,得=,WtuWgifWtuWgif10从而 sin B=,又由 a>b,知 A>B,所以 cos B=.故 sin C=sin(A+B)=sin=sin Bcos+cos Bsin=.所以ABC 的面积为 absin C=.14.(2015 江苏,15,14 分)在ABC 中,已知 AB=2,AC=3