模糊互补判断矩阵的对数最小二乘法

第四届中国不确定系统年会论文集桂林，2 0 0 6 年8 月1 8 2 2 日，第2 4 8 - 2 5 3 页模糊互补判断矩阵的对数最d ' - - 乘法史文雷吕跃进徐改丽郭欣荣广西大学数学与信息科学学院，广西南宁，5 3 0 0 0 4擅要基于模糊互补判断矩阵的一致性定义，提出了一种新的模糊判断矩阵的排序方法。从偏 差最小的角度出发，运用优化思想得到了模糊对数最d ' - - 乘法。并研究了，此排序方法具有强 保序性、相容性、对称性、置换不变性、协调性等性质。用一个算例说明此排序方法的应用， 最后用矩阵的贴近度指标，检验此排序方法的优越性。关键词模糊互补判断矩阵，排序方法，相容性，对称性，贴近度l 引言多属性决策是现代决策科学的重要组成部分，专家常常需要对元素两两比较构造判断 矩阵，以得到最终排序。从目前判断矩阵的元素构成来看，一类是互反型的( 考虑元素重 要性程度之比) ：一类是互补型的( 考虑元素重要性程度之差) 。在龋种类型的矩阵理论中， 如何得到方案的最终排序是个重要的研究课题。目前，关于互反型判断矩阵的排序方法， 已经十分丰富。卜。其中在这些排序方法中既有具有良好优越性能的最优化排序方法，又有 简单的近似方法。然而在现实决策中，由于受到专家知识水平和能力结构，事物本身的复 杂性和不确定性，同时由于模糊判断本身更符合人们的思维习惯等原因，专家给出的判断 往往不是以确定的数表示的，而是以区间数、模糊数或以语言值等形式给出的。于时人们 把模糊思想引入判断矩阵中，得到了一种模糊互补判断矩阵，进而如何得到排序，成为一个值得研究的问题。现在关于模糊判断矩阵的排序方法的研究已经取得了一些进展j 6 1 引。 这些方法基于不同的要求和考虑，各有千秋。本文利用最小二乘法原理，提出了一种新的 排序方法一模糊对数最小二乘法。同时首次引入贴近度指标对排序方法进行评价。2 基本定义为方便起见，记N = 1 , 2 ，1 ) ·定义2 1 设矩阵B = ( b t j ) 。翮，若有0 b o 1 ，则称矩阵B 是模糊矩阵若还满足厶；，+ b ，f = 1 ，则称矩阵B 是模糊互补矩阵n 引满足以上两者：并且对V f ，7 ，k N 有b u , b k j b 筇= b u b j k b U 则称矩阵B 是模糊一致判断矩阵n 引定义2 2 一个排序方法称为强条件下保序的，如果对V 七N ，有b , k b 洼，则皑C O J ，且当前者所有等式严格成立时，有劬= 国，。其中国= ( q ，q ，峨) r 是广西大学科研基金资助项目( X 0 3 2 0 1 6 )模糊互补判断矩阵的对数最小二乘法2 4 9B = ( b u ) 以。在某种算法下的排序向量。定义2 3 设r ( 木) 是一种排序方法，B 是一个给定的模糊互补判断矩阵，国= 丁( 召) 。如果对于任何一个置换矩阵尸，均有P m = T ( P B P l ) ，则称这种排序方法是置换不变的。定义2 4 设丁( 木) 是一种排序方法，C O = 丁( 曰) ，如果模糊矩阵B 是一致的，6 0 必是B的固有权重向量，则称这种排序方法是相容的。定义2 5 设丁( 宰) 是一种排序方法，如果对于任一个模糊判断矩阵B ，曰和B r 确定 的排序向量总是互为倒数，则称这种排序方法是对称的。 定义2 6 设? ( 掌) 是一种排序方法，l 阶模糊判断矩阵j 5 I 存在分块形式( 必要时可以先对矩阵曰作适当置换变换)曰= 乏： 荨中子阵B ，曰。毫方阵，阶数分别是，s ，c ，+ s = 万，。B 1 ，曰。确定的权重向量分别是丁( B I ) = ( 皑，哆，q ) 1T ( B 4 ) = ( C O t + l 鳞+ 2 ，) 1 。又存在口> o ，夕> 0 ，a + p = 1 ，使得子阵B 2 中的元素都满足铲芳罟川- l ' 2 ' ' ，扣“，以)若矩阵召确定的排序向量恰好是矿= ( 口吼，翻吃，翻( - 0 r ，触+ 1 ' ，t i m ) r ，则称这种排序方法是协调的。3 模糊对数最小二乘法原理及其求解当尺是模糊一致判断矩阵时，有= 五号苗，易= 面罟暑成立，以上两式相除。以+ 彩；。以+ 缈；得：旦：粤，f ，j ，( 1 )一_ 一i J - f Y l ，jD j i其中国= ( q ，) r 为排序向量。把( 1 ) 式代入国，= 1 得到模糊一致判断矩阵排序向量的精确解为：百。国= c 喜等，7 喜等，l 争i = 1 堕b n i ，r当B 不是模糊一致性互补判断矩阵时，公式( 1 ) 可变为堕五；：b i j( 2 )j b j l其中磊= 磊( ，仞，口，“f ，U J ) 称为扰动函数，口，“f ，U ，都是常数。显然史文雷吕跃进徐改丽郭欣荣当磊一1 时，判断矩阵趋于一致，此时茜就是百b o 的一个理想估计，因此合理的排序应该使得磊达到最小，即可用下列的对数优化模型来描述m i n ( 1 n 4 j ) 2( 3 )J J把公式( 2 ) 代入( 3 ) 得m i n ( 1 n b 驴一l n b 一l n ( o t + l n 哆) 2( 4 f ，J 2 1由权重向量的归一化条件和条件( 4 ) ，即可得到如下的模型Im i n ( 1 n b ，一l n b 一l n r O l + l n r o ，) 2以：_ 1( 5 )l锡= l劬> o ，f N由( 5 ) 得到的排序向量就是在模糊对数最小二乘意义下的排序向量，即为模糊对数最小 二乘法，简记为F L L S M 。 对于模糊对数最小二乘法，可以通过构造拉格朗日函数来求解。令，( q ，蛾，名) = ( 1 n b o - l n b j _ f - I n 也+ b r o w ) 2 + 2 旯( - 1 )并令望：0 ，得到q善( 1 n - I n b k z - I n 嘿+ I n 嚷瓦l +善m _ 1 曲豇_ 1 n q + h 1 哆) ( 一玄H 名= o对( 6 ) 式两边的足分别求和，并由对称性得名= 0 。化简( 6 ) 式并应用归一化条件得2 n I n t o , = ( 2 1 n b 酊一2 1 n b 豫+ 2 1 n 缈i )即嚷= c 垂老，；喜c 垂老乒( 诋，此即为模糊互补判断矩阵的对数最4 ' - 乘法的权重公式。4 模糊对数最小二乘法的性质定理4 1F L L S M 排序方法是强条件下保序的。( 7 )模糊互补判断矩阵的对数最小二乘法2 5 1证明设B = ( b u ) 似。是模糊互补判断矩阵，国= ( q ，吐，) 下是F L L S M 排序方法下的排序向量。设b i k b 雄，N ，所以l 一玩1 一b 球，由矩阵的互补性知。从而苦等成立，即有密苦密苦。由公式得到劬q 。证毕。定理4 2F L L S M 排序方法具有相容性。证明假定判断矩阵B 是一致的，设国= ( q ，吨，敛) 1 是B 的固有权重 b i i = L ，容易看出，国是优化问题( 5 ) 的解，此时的目标函数的最小值为0 。 、蛾+ j定理4 3F L L S M 排序方法满足对称性，置换不变性，协调性。 证明可参考文献 1 4 。5 算例分析1对于某一多属性决策问题，有四个被选方案x l ，工2 ，工3 ，工4 ，通过两两比较专家给出如下判断矩阵B =利用本文所提方法得到排序向量为C O = ( 0 4 3 0 2 ，0 1 7 9 9 ，0 2 7 4 9 ，0 1 1 5 0 ) r 。此时相应方案的排序为X l > IX 3 > IX 2 > I ，与文献 1 1 中的结论一致。6 算法比较定义6 1 功= ( q ，锡，蛾) r 是由模糊互补判断矩阵曰应用某种排序方法得到的权重向量，我们称w 为判断矩阵的导出矩阵。 其中矩阵W =0 5垡 Q + q_ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ 。i _ _ _ _ _ 一缎 q + 堡0 5 + q性质6 1 模糊互补判断矩阵的导出矩阵为模糊一致性互补判断矩阵。、J8，r，J8675OO006453OOOO7564OO0O5342OO0O2 5 2史文雷吕跃进徐改丽郭欣荣从矩阵拟合的角度，由排序向量构造的完全一致性互补判断W = ( ) 棚应该尽量逼 近原判断矩阵，此时得到的权重向量能最可能的保持原判断矩阵的专家信息，并能最好的 反映方案之间的重要性程度，从而引入下面的检验指标。定义6 2W = ( ) 棚是模糊互补判断矩阵B 的导出矩阵，称公式d ( B ，W ) 为两矩阵的贴近度。其中d ( B ，W ) =从以上指标我们可以看出d ( B ，w ) 值越小其贴近程度越好，反之其贴近程度越劣。以下的结论分别是针对判断矩阵( 8 ) 得到的d ( B ，w ) 算法权重向量导出矩阵0 4 2 8 70 50 7 0 0 60 6 0 4 50 7 9 9 0 权的最小 O 1 8 3 20 2 9 9 40 50 3 9 5 10 6 3 0 0 平方法”10 2 8 0 50 3 9 5 50 6 0 4 90 50 7 2 2 80 1 5 2 3 ( 讲L S M )O 1 0 7 60 2 0 1 00 3 7 0 00 2 7 7 20 50 4 3 0 30 50 7 0 5 20 6 1 0 30 7 8 9 10 1 7 9 90 2 9 4 80 50 3 9 5 60 6 1 0 0 特征向量法0 0 7 5 80 2 7 4 80 3 8 9 70 6 0 4 40 50 7 5 0 0? 7 1C E I dO 1 1 5 00 2 1 0 90 3 9 0 00 2 5 0 00 5O 2 9 2 0o 50 5 3 4 00 5 1 6 50 6 1 8 8X2 O 2 5 4 80 4 6 6 00 5O 4 8 2 5O 5 8 6 20 4 0 9 3( 口= 2 ) “O 2 7 3 30 4 8 3 50 5 1 7 50 50 6 0 3 00 1 7 9 90 3 8 1 20 4 1 3 80 3 9 7 00 50 4 2 6 40 50 7 0 1l0 6 0 4 80 7 9 0 2最小偏差法0 1 8 1 8o 2 9 8 90 5o 3 9 4 90 6 1 6 3 8 0 0 3 2 7O 2 7 8 60 3 9 5 20 6 0 5 1O 5O 7 1 11O 1 1 3 20 2 0 9 80 3 8 3 70 2 8 8 90 5模糊互补判断矩阵的对数最小二乘法2 5 30 4 3 0 20 5O 7 0 5 10 6 1 0 2o 7 的l 对数最小二 0 1 7 9 90 2 9 4 90 50 3 9 5 6o 6 l 乘法0 0 2 8 1O 2 7 4 90 3 8 9 80 6 0 4 40 50 7 0 5 1( F L L S M )O 1 1 5 0O 2 1 0 9O 3 9 0 00 2 9 4 90 5从附表最后一列我们很容易看出F L L S M 方法，其d ( B ，) 值最小，因而其贴近程度最高。此例充分说明了F L L S M 方法的优越性。同时在计算量方面，F L L S M 排序方法的计算