正弦定理和余弦定理专题
1复习专题复习专题:正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理 一、知识回顾一、知识回顾设ABC 的三边为 a、b、c，对应的三个角为 A、B、C1角与角关系：A+B+C = ，2边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，ab b3边与角关系： 1）正弦定理 .；（R 为外接圆半径） 变式 1：a = ，b= ，c= 2）余弦定理 c2 = ，b2 = ，a2 = 变式 1：cosA= ； .； . CcosBcos4. 三角形面积公式： .；5、关于三角形内角的常用三角恒等式：三角形内角定理的变形由 ABC，知 A（BC）可得出：sinAsin（BC） ，cosAcos（BC） 而有：， 222CBA 2cos2sinCBA2sin2cosCBA二二问题探究问题探究 探究一探究一正弦定理的应用正弦定理的应用 考点分析：知两角及一边、解三角形. 知两边及一边对角、解三角形. 方法点拨：针对考法涉及到三角形解的判定、一般有三种情况：无解、一解、两解；判定方法：方法 1【代数法】：大边对大角、内角和为、三角函数值不能大于 1；0180方法 2【几何法】：当为锐角时、或时、一解；时、两解；AAbasinba baAbsin 时、无解.当为直角或钝角时、时、一解；时、无解.AbasinAba ba 例如 1：在中、求其余的边和角.ABC, 243BAa例如 2： 在ABC 中，已知 a=,b=,B=45°,求 A、C 和 c.322变式训练 1：(2009·广东高考)已知ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 ac，且A75°，则 b ( )62A2 B42 C42 D. 3362变式训练 2：在锐角ABC 中，BC1，B2A，则的值等于_，AC 的取值范围为ACcosA_探究二探究二余弦定理应用余弦定理应用 考点分析：知三边、解三角形. 知两边及夹角、解三角形.例如 3：（1）在三角形中，,则的大小为（ ）ABC5,3,7ABACBCBACAB CD 2 35 63 4 3（2）在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边，已知则 A . 3,3,30 ,abc变式训练：ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 b2+c2-a2+bc=0.（1）求角 A 的大小；（2）若 a=，求 bc 的最大值；3探究三探究三正、余弦定理的综合应用正、余弦定理的综合应用 考点一考点一判定三角形形状判定三角形形状 方法点拨：知识要求：灵活应用正、余弦定理及和、差、半角公式；能力要求：统一成边的思 想、或统一成角的思想和方程组思想.例如 4：在ABC 中，a、b、c 分别表示三个内角 A、B、C 的对边，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B） ，判断三角形的形状. 变式训练：在ABC 中, ，则这个三角形一定是（ ） cbacos A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形 考点二考点二三角形面积（注重方程组思想）三角形面积（注重方程组思想）例如 5：(2009·浙江高考)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 cos ，A22 55·3.ABu uu uu u r r ACu uu uu u r r3(1) 求ABC 的面积； (2)若 c1，求 a 的值变式训练：.在ABC 中，AB，AC1，B ，则ABC 的面积等于 ( )36A. B. C.或 D.或 32343233234考点三考点三角或边的范围角或边的范围 方法点拨：主要是函数思想、基本不等式、三角函数有界性的应用。例如 6：（1）锐角ABC 中，若 A2B，则 的取值范围是 ( )abA(1,2) B(1，) C(，2) D(，) 3223(2) 在ABC 中，则边的取值范围是 （ ）10,sin43ccbA B C D ),(215),10()10, 0(340, 0(变式训练 8： 在ABC 中, ,若三角形有两解，则边的范围是（ ）045, 2Aab若三角形有一解，则边的范围是（ ） bA B C D2fb2220bb或p222pp b222pp b变式训练 9： 在ABC 中， 则角 A 的取值范围是 （ ） ； -2, 1bamax)(ABCS-.探究四探究四正、余弦定理的实际应用正、余弦定理的实际应用例如 7：为了竖一块广告牌，要制造三角形支架.三角形支架，如图所示，要求ACB=60°，BC 的长度大于 1 米，且 AC 比 AB 长 0.5 米.为了使广告牌稳固，要求 AC 的长度越短越好，求 AC 最短为多少米？且当 AC 最短时，BC 长度为多少米？变式训练 10：如图所示，扇形 AOB，圆心角 AOB 等于 60°，半径为 2，在弧 AB 上有一动点 P，过 P 引平行于 OB 的直线和 OA 交于点 C，设AOP=，求POC 面积的最大值及此时的值.4四四思维训练与能力提高思维训练与能力提高1.（2010 上海）18.若ABC的三个内角满足sin:sin:sin5:11:13ABC ，则ABC（A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 2.（2010 湖南）6、在ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a,b,c，若C=120°，2ca,则A、a>b B、a<b C、a=b D、a 与 b 的大小关系不能确定 3 （2010 广东理）11.已知 a,b,c 分别是ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边，若 a=1,b=3, A+C=2B,则 sinC= .4 、在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且 8sin2. 72cos22ACB(I)求角 A 的大小； (II) 若 a=，b+c=3，求 b 和 c 的值奎屯王新敞新疆35 在ABC 中，a、b、c 分别是角 A，B，C 的对边，且=-.CB coscos cab 2（1）求角 B 的大小； （2）若 b=，a+c=4，求ABC 的面积. 136、在中，内角对边的边长分别是，已知，ABCABC，abc，2c 3C（1）若的面积等于，求；ABC3ab，（2）若，求的面积sinsin()2sin2CBAAABC
