(文章)应用基本不等式的几点注意

http:/www.mathschina.com 彰显数学魅力！演绎网站传奇！彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学学数学 用用专页专页 第 1 页 共 3 页 版版权权所有所有 少智少智报报·数学数学专页专页应用基本不等式的几点注意应用基本不等式求最值是最值求解的重要方法之一，但应用基本不等式求函数最值时往 往容易忽略 “一正、二定、三相等”这三个条件而导致出现错误，本文将举例给以说明. 一、没有注意“正数”的条件例 1、求函数的最大值。31 2yxx 错误解法： 331 212yxxxx 3322 22 6xxxx，故有最大值1 2 6y y1 2 6错误原因：成立的前提条件是如果则2abab0,0,ab0,0ab。这是没有注意“正数”的条件。2abab 正确解法：当时，0x 331 2121 2 6yxxxx 故max1 2 6y 当时，0x 331212212 6yxxxx 故min12 6y 二、没有注意“相等”的条件例 2、求函数的最小值。2254xy x 错误解法：2 2 min2241142,2. 44xyxy xx Q错误原因：上述解法忽略了等号成立的条件，因为方程无解，从而导2214 4x x 致错误的结果。这是没有注意“相等”的条件。正确解法：y 222433544.2244x xx 当时，两次放缩的等号均成立。0x http:/www.mathschina.com 彰显数学魅力！演绎网站传奇！彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学学数学 用用专页专页 第 2 页 共 3 页 版版权权所有所有 少智少智报报·数学数学专页专页min5.2y注意：由于定义域的限制，有些型的式子，满足两数之积为常数，但不能kxx0k 使等号成立。如求：的最小值，虽然有但当时取13yxxx12.xx1,xx1x “=”号不在其定义域之内，不能用定理。这时利用函数单调性来解：3, f x ，在内是减函数，在内是增函数。0kxkx0,0kk ,kk 三、没有注意和为“常数”的条件例 3、求函数的最小值。1101yxxxxx 错误解法：根据知2,0 ,abab a b的最小值是 2。 111122.11yxxf xxxxxxx错误原因：而使得取最小值 2。当且仅当110,22,xxxxx Qy11,1xxxx 即无实数解。这是没有注意和为“常数”的条件。11,xx正确解法：设 1xtx110,22,xxxxx Q2,t 则在上递增， 当时，1ytt 2,2t min5.2y四、没有注意积为“常数”的条件例 4、设，求的最大值。2 20,0,1,2baba21ab错误解法： 22 224111121222ababab=。2 2221111310222224baaaa时取等号http:/www.mathschina.com 彰显数学魅力！演绎网站传奇！彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学学数学 用用专页专页 第 3 页 共 3 页 版版权权所有所有 少智少智报报·数学数学专页专页错误原因：中，并非定值。22 224111121222ababab22412ab这是没有注意和或积为“常数”的条件。正确解法： 22 22130,0,1,222bbabaa 2 22 213 13 2221222.2224bababa 当时，即时，最大值为。2 221,21 2baba3,4 2 2ab 21ab3 2 4例 5、 已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值。a1 b1错误解法:(a+)2+(b+)2=a2+b2+42ab+44+4=8(a+)a1 b121 a21 bab2 abab1a12+(b+)2的最小值是 8；b1错解原因：上面的解答中，两次用到了基本不等式 a2+b22ab，第一次等号成立的条件是 a=b=,第二次等号成立的条件 ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，21 ab18 不是最小值。正确解法：原式= a2+b2+4=( a2+b2)+(+)+4=(a+b)2-2ab+ (+)2-21 a21 b21 a21 ba1 b1+4 =(1-2ab)(1+)+4 由 ab()2= 得：1-2ab1-=,且ab2221 ba2ba 41 21 2116，1+17原式×17+4= (当且仅当 a=b=时，等号成立)(a+221 ba221 ba21 225 21)2+(b+)2的最小值是。a1 b1 225注意在应用重要不等式求解最值时，要注意它的三个前提条件缺一不可即“一正、二定、 三相等” ，在解题中容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制 范围内.