山东高中数学 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件

2.4.2 平面向量数量积的坐标 表示、模、夹角 2.4 平面向量的数量积 第二章 平面向量问题提出1.向量a与b的数量积的含义是什么？ a·b=|a|b|cos. 其中为向量a与b的夹角2.向量的数量积具有哪些运算性质？ （1）ab a·b0(a0，b0)； （2）a2a2； （3）a·bb·a； （4）(a)·b(a·b)a·(b)； （5）(ab)·ca·cb·c； （6）a·bab.3.平面向量的表示方法有几何法和坐标 法，向量的表示形式不同，对其运算的 表示方式也会改变.向量的坐标表示，对 向量的加、减、数乘运算带来了很大的 方便.若已知向量a与b的坐标，则其数量 积是唯一确定的，因此，如何用坐标表 示向量的数量积就成为我们需要研究的 课题. 探究（一）：平面向量数量积的坐标表示 思考1：设i、j是分别与x轴、y轴同向的 两个单位向量，若两个非零向量a(x1 ，y1),b(x2，y2)，则向量a与b用i、j分 别如何表示？ax1iy1j，bx2iy2j.思考2：对于上述向量i、j，则i2，j2，i·j 分别等于什么？ i2=1，j2=1，i·j=0. 思考3：根据数量积的运算性质，a·b等 于什么？ 思考4：若a(x1，y1),b(x2，y2)，则 a·bx1x2y1y2，这就是平面向量数量 积的坐标表示.你能用文字描述这一结论 吗？ a·bx1x2y1y2 两个向量的数量积等于它们对应坐标的 乘积的和.思考5：如何利用数量积的坐标表示证明 (ab)·ca·cb·c？ 探究（二）：向量的模和夹角的坐标表示 思考1：设向量a(x，y)，利用数量积 的坐标表示，a等于什么？ 思考2：如果表示向量a的有向线段的起点 和终点的坐标分别为(x1，y1), (x2，y2)， 那么向量a的坐标如何表示？a等于什 么？ a a(x2x1，y2y1)； a 思考3：设向量a(x1，y1),b(x2，y2)， 若ab，则x1，y1，x2，y2之间的关系如何 ？反之成立吗？ 思考4：设a、b是两个非零向量，其夹角 为，若a(x1，y1),b(x2，y2)，那么 cos如何用坐标表示？ ab x1x2y1y20. 例1 已知向量a(4，3),b(1，2), 求:(1) a·b；(2) (a2b)·(ab)；(3) |a|24a·b.理论迁移(1) 2；（2）17；（3）3. 例2 已知点A（1，2）,B（2，3）, C(2，5)，试判断ABC的形状，并给 出证明. ABC是直角三角形 例3 已知向量a(5，7)，b ( 6，4)，求向量a 与b的夹角（ 精确到1°）. cos0.03，92°. 例4 已知向量a(，2)，b( 3，5)，若向量a 与b的夹角为钝角， 求的取值范围. 例5 已知b(1，1)，a·b3， |ab|2，求|a|. 小结作业2.若非零向量a 与b的夹角为锐角（钝角 ），则a·b0（0），反之不成立. 1.ab ab 二者有着本质区别. 3.向量的坐标运算沟通了向量与解析几 何的内在联系，解析几何中与角度、距 离、平行、垂直有关的问题，可以考虑 用向量方法来解决.