虹口补习班大连路新王牌二次函数解析式的确定以及与一元二次方程的关系

第 1 页/ 共12页 1 序号： 初中数学备课组 教师： 班级：初三 日期： 上课时间： 学生： 学生情况：九年级新生 授课类型：新授课 主课题： 二次函数解析式的确定及其与一元二次方程的关系 教学目的: 1掌握二次函数解析式的三种表示方法； 2体会求二次函数表达式的思想方法，培养数学应用意识； 3会用待定系数法求二次函数的表达式。 教学重点： 会选择适当的方法求二次函数的表达式。 教学难点： 理解待定系数法求二次函数表达式的思想。 一、知识精要 1、已知三点求二次函数的解析式、已知三点求二次函数的解析式 当已知二次函数的图象经过三个已知点的坐标或是 x、y 的对应数值时，通常把这三点的坐标代入一般式2(0)yaxbxc a中，可得以a、b、c为未知数的三元方程组，解此方程组求得a、b、c的值再代入一般式可得所求函数解析式。我们称2(0)yaxbxc a为一般式（三点式）一般式（三点式） 。 2、已知顶点坐标、对称轴、或极值求二次函数的解析式已知顶点坐标、对称轴、或极值求二次函数的解析式 当已知顶点坐标、对称轴、或极值时，可设其解析式为2()ya xhk（即顶点式或配方式）（即顶点式或配方式）较为 简便。 3、已知图象与已知图象与 x 轴两交点坐标求解析式轴两交点坐标求解析式 当已知二次函数图象与 x 轴的两交点坐标时， 可设其解析式为)(21xxxxay（即两根式或交点式两根式或交点式） 较为简便。 4、已知图象与已知图象与 x 轴两交点间的距离求解析式轴两交点间的距离求解析式 当已知二次函数与 x 轴两交点间的距离时，常用一般式cbxaxy2和关系式：axx21（其中acb42）求解。 5、由二次函数的图象平移变换求解析式由二次函数的图象平移变换求解析式 由已知图象的平移变换求解析式时，通常是将已知图象的解析式写成“顶点式”即nmxay2)(的形 式，若图象右（左）移动几个单位，m的值就减（加）几个单位，若图象向上（下）移动几个单位，n的 值就加（减）几个单位。 6、二次函数的图象绕顶点二次函数的图象绕顶点旋转旋转180或沿或沿 x 轴翻折变换求解析式轴翻折变换求解析式 这类问题，必须把已知二次函数的解析式化成“顶点式”。当的图象绕顶点旋转180时，旋转前后顶点坐标 不变，而开口方向相反，故二次顶系数互为相反数；当图象沿 x 轴翻折时，翻折前后顶点关于 x 轴对称， 开口方向相反。 第 2 页/ 共12页 2 7、二次函数二次函数2yaxbxc图象和图象和 x 轴交点有三种情况：轴交点有三种情况： 有两个交点有两个交点, 有一个交点有一个交点, 没有交点没有交点. 当二次函数当二次函数2yaxbxc的图象和的图象和 x 轴有交点时，交点的横坐标就是当轴有交点时，交点的横坐标就是当 y=0 时自变量时自变量 x 的值，即一元的值，即一元二次方程二次方程20axbxc的根。的根。 二次函数2yaxbxc的图象和 x 轴交点 一元二次方程20axbxc的根 一元二次方程20axbxc根的判别式24bac 有两个交点 有两个不相等的实数根 240bac 有一个交点 有两个相等的实数根 240bac 没有交点 无实数根 240bac 二、精解名题： 例 1、根据下列条件，分别求出函数的解析式： （1）已知二次函数的图像经过点 A（0，-1），B（1，0），C（-1,2）； （2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与 y 轴交于点（0,1）； （3）已知抛物线经过 A（-3,0），B（5,0），C（0，-3）三点； 例 2、如图，已知二次函数的图像与 x 轴两交点之间的距离是 4 个单位，且顶点 M 为（-1,4），求此二次 函数的解析式. 第 3 页/ 共12页 3 例 3、已知抛物线2yxbxc与 x 轴只有一个公共点 A（2，0），它与 y 轴的交点为 B。 （1）求 b、c 的值； （2）如图，点 M 为线段 AB 的中点，求图像经过 O、M、A 三点的二次函数的解析式。 例 4、在坐标平面上，O 为原点，已知点 A（2，2），点 B，C 在 y 轴上，BC=8，AB=AC，直线 AB 交 x 轴于点 D. （1）求点 C、D 的坐标； （2）求图像经过 A、C、D 三点的二次函数的解析式。 例 5、如图，抛物线2yaxbxc与 x 轴交于 A、B 两点，A 在 B 的左边，交 y 轴正半轴于点 C，且AC=20，BC=15，ACB=90° ，求此抛物线的解析式。 第 4 页/ 共12页 4 例 6、已知二次函数24yaxaxt（a0）与 x 轴的一个交点为 A（-1,0）。 （1） 求抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标； （2） 设 D 是抛物线与 y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以 AB 为一底的梯形 ABCD 的面积为 9，求此抛物线的表达式。 例 7、如图，在直角坐标系 XOY 中，抛物线2266yaxax与 y 轴的公共点为 A，第一象限点 B、C在此抛物线上，AB/x 轴，AOB=COX，OC=2 5。 （1） 求点 A、B、C 的坐标； （2） 求抛物线的顶点坐标。 例 8、如图，抛物线2yxbxc 与x轴交于 A、B 两点，与y轴交于点 C，点 O 为坐标原点，点 D为抛物线的顶点，点 E 在抛物线上，点 F 在x轴上，四边形 OCEF 为矩形，且2OF ，3EF . （1）求抛物线的解析式； （2）求ABD 的面积； （3）将AOC 绕点 C 逆时针旋转90，点对应点为点，点是否在抛物线上？请说明理由. 第 5 页/ 共12页 5 三、巩固练习 一、填空题 1、如果抛物线kxy2经过点)2, 1 ( ，那么k的值是 2、如果二次函数23+1yxxm 的图像经过原点，那么m的值为 3、九年级数学课本上，用“描点法”画二次函数2yaxbxc的图像时，列出了如下的表格： x 0 1 2 3 4 2yaxbxc 3 0 1 0 3 那么该二次函数在5x 时，y . 4、 抛物线23yaxbx与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧） ， 与y轴交于点C， 且:1 : 3O AO B，OBOC，那么A的坐标是 5、若二次函数2=21+y mxmx m的图像顶点在y轴上，则=m 6、如果抛物线2yaxbxc经过点( 1, 0)和(3, 0)，那么对称轴是直线（ ） A=0x； B=1x； C=2x； D=3x 7、抛物线2yaxbxc过1,0和5,0两点，那么该抛物线的对称轴是 8、抛物线)5)(1(xxy的对称轴是 9、已知抛物线xxy62，点2,Am与点,4B n关于该抛物线的对称轴对称，那么+m n的值等于 _. 10、二次函数2yaxbxc中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则m的值为_ x 2 1 0 1 2 3 4 y 7 2 1 2 m 2 7 11、已知，二次函数2( )f xaxbxc的部分对应值如下表，则( 3)f x 2 1 0 1 2 3 4 5 y 5 0 3 4 3 0 5 12 第 6 页/ 共12页 6 二、选择题： 1、一次函数baxy与二次函数cbxaxy2在同一坐标系中的图像可能是（ ） 2、在同一直角坐标系中，函数ymxm和函数222ymxx （m是常数，且0m ）的图像可能是（ ） 3、函数2yax与yaxb 的图像可能是（ ） （A） （B） （C） （D） 4、函数2yaxbyaxbxc和在同一直角坐标系内的图象大致是( ) AxyOBxyOCxyODxyO第 7 页/ 共12页 7 5、如图，已知抛物线cbxxy2的对称轴为2x，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为0,3，则点B的坐标为（ ） A （2，3） ； B （4，3） ； C （3，3） ； D （3，2） 三、解答题： 1、二次函数mxxy22的图像与x轴的一个交点为3,0A另一个交点为B，且与y轴交于点C. （1）求m的值和点B的坐标； （2）求ABC的面积. 2、已知：如果抛物线2yaxbxc的顶点为3,4B，且经过点0,5C （1）求抛物线的函数关系式； （2）若过点C的直线ykxb与抛物线相交于点4Em，求CBE的面积 3、已知函数213 22yxx ， （1）画出已知函数的图像； （2）观察所画的图像回答：抛物线在 x 轴上方的点的横坐标在什么范围？在 x 轴下方的点的横坐标呢？ （3）观察图形，当 x 分别取何值时，0,0,0yyy？ 第 8 页/ 共12页 8 4、 （1）分别画出直线14yx和抛物线2 24yxx的图像。 （2）观察图形，试求出直线4yx和抛物线24yxx的公共点的坐标。 （3）当 x 取何值时，21yy？当 x 取何值时，21yy？当 x 取何值时，21yy？ 5、如图，已知平行四边形 ABOC 的顶点 A、B、C 在二次函数 y=ax2+bx+c 的图象上，又点 A、B 分别在y 轴和 x 轴上，ABO=45° 图象顶点的横坐标为 2，求二次函数解析式 6、已知抛物线 y=nx²+4nx+m 与 x 轴交于 A（-1，0） ，B（x2，0）两点，与 y 轴正半轴交于 C，抛物线的顶点为 D，且 S ABD=1，求抛物线的解析式 第 9 页/ 共12页 9 7、已知抛物线22(1)ya xtt （, a t是常数，0a ，0t ）的顶点是 A，抛物线221yxx的顶点是 B. （1）判断点 A 是否在抛物线221yxx上，为什么？ （2）如果抛物线22(1)ya xtt 经过点.求a的值；这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A 能否成直角三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由. 四、自我测试 1、如果抛物线2) 1(22kxxky与y轴的交点为) 1 , 0(，那么k的值是 2、若二次函数kxxy32的图像与x轴有公共点,则实数k的取值范围是_. 3、抛物线1322xxy与x轴的交点坐标是_ 4、已知抛物线 y=x2-3x+a+1 与 x 轴最多只有一个交点，则 a 的范围是_。 5、 已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上， 则a=_； 若抛物线与x轴有两个交点， 则a的范围是_； 6、如果二次函数2(22)1ymxmxm的图像与 x 轴有两个公共点，那么 m 的取值范围是 . 7、如果一元二次方程20xmxn有两个相等的实数根127xx，那么二次函数2yxmxn的图像的顶点坐标为