奥数：5-3-1约数与倍数-题库

5-3 约数与倍数教学目标本讲中的知识点并不难理解，对于约数、最大公约数；倍数、最小公倍数的定义我们在学校的课本上都已经学习过，所以重点在于一些性质的应用，完全平方数在考试中经常出现，所以对于平方差公式还有一些主要性质一定要记住 .本讲力求实现的一个核心目标是让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识，即所谓的整数唯一分解定理，教师可以在课前让学生练习几个两位或三位整数的分解，然后帮学生做一个找规律式的不完全归纳，让学生自己初步领悟“原来任何一个数字都可以表示为. 的结构”知识点拨一、约数的概念与最大公约数0 被排除在约数与倍数之外1 求最大公约数的方法分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来例如： 231 3 7 11， 252 22327 ，所以 (231,252)3721 ；21812短除法： 先找出所有共有的约数，然后相乘例如：3 96，所以 (12,18)236；32辗转相除法： 每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数， 直到余数是 0 为止那么，最后一个除数就是所求的最大公约数 ( 如果最后的除数是 1，那么原来的两个数是互质的 ) 例如，求 600 和 1515的最大公约数： 1515 600 2L 315； 600315 1L 285； 315285 1L 30 ；285 30 9L 15； 30 152L 0 ；所以 1515 和 600 的最大公约数是152 最大公约数的性质几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n 3 求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的最大公约数b； b 即为所求a二、倍数的概念与最小公倍数1. 求最小公倍数的方法分解质因数的方法；例如：23137 11， 252 22327 ，所以 231,25222327 11 2772 ；短除法求最小公倍数；21812例如：3 96，所以 18,12233236；32 a, bab(a, b)2. 最小公倍数的性质两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a ；求出各个分数分母的最大公约数即为所求例如：353,515,4412(4,12)注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数. 例如：141,42,432,3b ；ba三、最大公约数与最小公倍数的常用性质1 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。如果 m 为 A 、B 的最大公约数， 且 Ama ，Bmb ，那么 a、b 互质，所以 A 、B 的最小公倍数为mab，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系： A B ma mb m mab ，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；最大公约数是 A 、 B 、 A B 、 A B 及最小公倍数的约数2 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。即 (a,b) a, bab ，此性质比较简单，学生比较容易掌握。3 对于任意3 个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为a) 奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数例如： 567 210， 210 就是 567 的最小公倍数b) 偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2 倍例如： 678 336，而 6,7,8 的最小公倍数为 336 2168性质（ 3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。四、求约数个数与所有约数的和1 求任一整数约数的个数一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数( 次数 ) 加 1 后所得的乘积。如 :1400 严格分解质因数之后为32，所以它的约数有(3+1) × (2+1) × (1+1)=4 × 3× 2=24 个。25 7(包括 1 和 1400 本身)约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。2 求任一整数的所有约数的和一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1 加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。如： 21000337 ，所以 21000 所有约数的和为23 5(122223 )(13)(155253)(17)74880此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记忆即可。例题精讲模块一、约数与倍数、最大公约数与最小公倍数基本概念【例 1 】把一张长1 米 3 分米 5 厘米、 宽 1 米 5 厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余， 问：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？【解析】要把一张长方形的纸裁成同样大小的正方形纸块，还不能有剩余，这个正方形纸块的边长应该是长方形的长和宽的公约数由于题目要求的是最大的正方形纸块，所以正方形纸块的边长是长方形的长和宽的最大公约数1米3分米 5厘米 135 厘米， 1 米 5 厘米 105厘米， (135,105)15 ，长方形纸块的面积为 135105 14175 (平方厘米 ) ，正方形纸块的面积为15 15 225 ( 平方厘米 ) ，共可裁成正方形纸块 14175 225 63 ( 张 ) 【 巩固】一个房间长 450 厘米，宽 330 厘米现计划用方砖铺地，问需要用边长最大为多少厘米的方砖多少块 ( 整块 ) ，才能正好把房间地面铺满？【 解析】要使方砖正好铺满地面，房间的长和宽都应是方砖边长的倍数，也就是方砖边长厘米数必须是房间长、宽厘米数的公约数由于题中要求方砖边长尽可能大，所以方砖边长应为房间长与宽的最大公约数 450 和 330 的最大公约数是30 450 30 15， 33030 11 ，共需 15 11165 ( 块).【例 2 】有 336 个苹果， 252 个桔子， 210 个梨， 用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？【解析】此题本质上也是要求出这三种水果的最大公约数，有 (336,252,210) 42 , 即可以分 42 份，每份中有苹果 8 个，桔子 6 个，梨 5 个【巩固】把 20 个梨和 25 个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2 个，而苹果还缺2 个，一共最多有多少个小朋友？【解析】此题相当于梨的总数是人数的整数倍还多2 个，苹果数是人数的整数倍还缺2 个，所以减掉2 个梨，补充 2 个苹果后， 18 个梨和 27 个苹果就都是人数的整数倍了，即人数是18 和 27 的公约数，要求最多的人数，即是18 和 27 的最大公约数9 了【巩固】教师节那天，某校工会买了320 个苹果、 240 个桔子、 200 个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物 ( 同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等 ) ？在每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？【解析】因为 (320,240,200) 40 ， 320 40 8 ， 240 40 6， 200 40 5 ，所以最多可分 40 份，每份中有 8 个苹果 6 个桔子， 5 个鸭梨 .【例 3 】 现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？【解析】只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析三个数的和是1111，它们的公约数一定是1111 的约数因为1111 11101，它的约数只能是1，11，101 和 1111，由于三个自然数的和是1111，所以三个自然数都小于 1111 ， 1111 不可能是三个自然数的公约数，而101 是可能的，比如取三个数为101，101 和 909所以所求数是101【巩固】用 1: 9 这九个数码可以组成362880 个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公约数【解析】1 2 L945 ，是 9 的倍数， 因而 9 是这些数的公约数又 123456789 和 123456798 这两个数只差 9，这两个数的最大公约数是它们的差的约数，即是9 的约数，所以 9 是这两个数的最大公约数从而 9 是这 362880 个数的最大公约数【巩固】用 2、 3、