2018-2019年高中数学 第一章 计数原理 1.1 第一课时 两个计数原理及其简单应用 学案学案 新人教A版选修2-3.doc

第一课时两个计数原理及其简单应用教材研读预习教材P212，思考以下问题1什么是分类加法计数原理与分步乘法计数原理？2分类加法计数原理与分步乘法计数原理有怎样的区别与联系？要点梳理1分类加法计数原理2分步乘法计数原理3两个计数原理的区别自我诊断判断(正确的打“”，错误的打“×”)1在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同()2在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事()3在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的()4在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成()答案1.×2.3.4.思考：若完成一件事情有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同方法？提示：完成这件事共有m1m2mn种不同方法 某校高三共有三个班，其各班人数如下表班级男生数女生数总数高三1班302050高三2班303060高三3班352055(1)从三个班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从1班、2班男生中或从3班女生中选一名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？思路导引采用分类加法计数原理求解时，关键是找好每一类方法中有多少种不同方法解(1)从三个班中任选一名学生，可分三类：第一类，从1班任选一名学生，有50种不同选法；第二类，从2班任选一名学生，有60种不同选法；第三类，从3班任选一名学生，有55种不同选法由分类加法计数原理知，不同的选法种数为N506055165.(2)由题设知共有三类方案：第一类，从1班男生中任选一名学生，有30种不同选法；第二类，从2班男生中任选一名学生，有30种不同选法；第三类，从3班女生中任选一名学生，有20种不同选法由分类加法计数原理知，不同的选法种数为N30302080.(1)能用分类加法计数原理解决的问题具有如下特点：完成一件事有若干种方法，这些方法可以分成n类；用每一类中的每一种方法都可以完成这件事；把各类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数(2)用分类加法计数原理解题应注意以下问题：明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算完成这件事；分类加法计数原理中的“分类”要全面、不能遗漏，但也不能重复、交叉；若完成某件事情有n类办法，则它们两两的交集为空集，n类的并集为全集跟踪训练在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为_解析(1)解法一：根据题意，将十位上的数字按1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8765432136(个)解法二：分析个位数字，可分以下几类：个数是9，则十位可以是1,2,3，8中的一个，故共有8个；个位是8，则十位可以是1,2,3，7中的一个，故共有7个；同理，个位是7的有6个；个位是2的有1个由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8765432136(个)答案36变式 若本题条件变为个位数字小于十位数字且为偶数，那么这样的两位数有多少个解当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个当个位数字是6时，十位数字可取7,8,9，共3个当个位数字是4时，十位数字可取5,6,7,8,9，共5个同理可知，当个位数字是2时，共7个，当个位数字是0时，共9个由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1357925(个)题型二分步乘法计数原理思考：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有多少种不同的方法？提示：完成这件事共有m1×m2××mn种不同的方法 已知集合M3，2，1,0,1,2，P(a，b)(a，bM)表示平面上的点问：(1)点P可表示平面上多少个不同的点？(2)点P可表示平面上第二象限内多少个不同的点？思路导引利用分步乘法计数原理求解，在求解过程中注意完成每一步有多少种不同方法解(1)确定平面上的点P(a，b)，可分两步完成：第1步确定a的值，有6种不同的结果；第2步确定b的值，也有6种不同的结果根据分步乘法计数原理，得到点P可表示平面上不同点的个数为6×636.(2)确定平面上第二象限内的点P(a，b)，可分两步完成：第1步确定a的值，由于a<0，所以有3种不同的结果；第2步确定b的值，由于b>0，所以有2种不同的结果由分步乘法计数原理，得到点P可表示平面上第二象限内不同的点的个数为3×26.(1)能用分步乘法计数原理解决的问题具有如下特点：完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可；完成每一步都有若干种方法；把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数(2)利用分步乘法计数原理应注意：要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；“步”与“步”之间是连续的、不间断的、缺一不可的，但也不能重复、交叉；若完成某件事情需n步，则必须且只需依次完成这n个步骤后，这件事情才算完成跟踪训练从1,2,3,4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则分别满足下列条件的数有多少个？(1)三位数；(2)三位数的偶数解(1)三位数有三个数位，故可分三个步骤完成：第1步，排个位，从1,2,3,4中选1个数字，有4种方法；第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法依据分步乘法计数原理，共有4×3×224个满足要求的三位数(2)分三个步骤完成：第1步，排个位，从2,4中选1个，有2种方法；第2步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；第3步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法故共有2×3×212个三位数的偶数思考：如何区分一个问题是“分类”还是“分步”？提示：如果完成这件事，可以分几种情况，每种情况中任何一种方法都能完成任务，则是分类；而从其中一种情况中任取一种方法只能完成一部分任务，且只有依次完成各种情况，才能完成这件事，则是分步 (链接教材P5例3)王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读(1)若他从这些参考书中带1本去图书馆，有多少种不同的带法？(2)若带外语、数学、物理参考书各1本，有多少种不同的带法？(3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，有多少种不同的带法？思路导引解决两个计数原理的应用问题，首先应明确所需完成的事情是什么，再分析每一种做法完成后，是否完成整件事，从而区分分类加法计数原理和分步乘法计数原理解(1)要完成的事情是带1本参考书，无论是带外语书，还是带数学书、物理书，事情都可完成，从而根据分类加法计数原理，共有54312种不同的带法(2)要完成的事情是带3本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理书中各选1本后，才能完成这件事，因此根据分步乘法计数原理，共有5×4×360种不同的带法(3)选1本外语书和1本数学书应用分步乘法计数原理，有5×420种选法；同样，选外语书、物理书各1本，有5×315种选法；选数学书、物理书各1本，有4×312种选法即有三类情况，根据分类加法计数原理，共有20151247种不同的带法对于两个计数原理的综合应用问题，一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏；分步时要注意步与步之间的连续性，同时应合理设计步骤的顺序，使各步互不干扰，也可以根据题意恰当合理地画出示意图或者列出表格，使问题的实质直观地显现出来，从而便于我们解题跟踪训练某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况为多少种？解分两类：第一类是甲企业有1人发言，有2种情况，另2个发言人来自其余4家企业，有6种情况，根据分步乘法计数原理可得共有2×612(种)情况；另一类是3人全来自其余4家企业，共有4种情况根据分类加法计数原理可得共有12416(种)情况1.本节课的重点是分类加法计数原理和分步乘法计数原理，难点是两个计数原理的灵活应用2本节课要重点掌握的规律方法(1)用分类加法计数原理解决有关问题，见典例1；(2)用分步乘法计数原理解决有关问题，见典例2；(3)两个计数原理的综合应用，见典例3.3两个原理的综合应用问题应先分类后分步，分类时应“不重不漏”，分步时要做到步骤完整，这是本节课的易错点