二次函数全章教案

课题：课题：26.1 二次函数二次函数教学目标： 1、 从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程， 进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。 2、 理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。 3、 会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。 4、 会用待定系数法求二次函数的解析式。 教学重点：二次函数的概念和解析式 教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概 括能力。 教学设计： 一、创设情境，导入新课 问题 1、现有一根 12m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积 最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题 2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？ 怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数” （板书课题） 二、合作学习，探索新知 请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量 y 与 x 之间的关系： （1）面积 y (cm2)与圆的半径 x ( Cm ) (2)王先生存人银行 2 万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个 一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息 y 元; (3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为 12Om , 室内 通道的尺寸如图,设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2) 1113x（一） 教师组织合作学习活动： 1、 先个体探求，尝试写出 y 与 x 之间的函数解析式。2、 上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。 （1）y =x2 （2）y = 2000(1+x)2 = 20000x2+40000x+20000 (3) y = (60-x-4)(x-2)=-x2+58x-112 （二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法。 教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具 y=ax²+bx+c (a,b,c 是常数, a0)的 形式. 板书：我们把形如板书：我们把形如 y=ax²+bx+c(其中其中 a,b,C 是常数，是常数，a0)的函数叫做二次函数的函数叫做二次函数 (quadratic funcion) 称称 a 为二次项系数，为二次项系数， b 为一次项系数，为一次项系数，c 为常数项，为常数项， 请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项 （二） 做一做 1、 下列函数中，哪些是二次函数？(1) (2) (3) （4） 2xy 21 xy122xxy)1 (xxy（5）) 1)(1() 1(2xxxy2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：（1） （2） （3）12 xy12732xxy)1 (2xxy3、若函数为二次函数，则 m 的值为 。mmxmy2) 1(2三、例题示范，了解规律例 1、已知二次函数 当 x=1 时，函数值是 4；当 x=2 时，函数值是qpxxy2-5。求这个二次函数的解析式。 此题难度较小，但却反映了求二次函数解析式的一般方法，可让学生一边说，教师 一边板书示范，强调书写格式和思考方法。练习：已知二次函数 ，当 x=2 时，函数值是 3；当 x=-2 时，函数cbxaxy2值是 2。求这个二次函数的解析式。 例 2、如图，一张正方形纸板的边长为 2cm，将它剪去 4 个全等的直角三角形（图中 阴影部分） 。设 AE=BF=CG=DH=x(cm) ,四边形 EFGH 的面积为 y(cm2),求： （1）y 关于 x 的函数解析式和自变量 x 的取值范围。 （2）当 x 分别为 0.25，0.5，1.5，1.75 时，对应的四边形 EFGH 的面积，并列表 表示。 ABEFCGDH方法： （1）学生独立分析思考，尝试写出 y 关于 x 的函数解析式，教师巡回辅导，适时点 拨。 （2）对于第一个问题可以用多种方法解答，比如： 求差法：四边形 EFGH 的面积=正方形 ABCD 的面积-直角三角形 AEH 的面积 DE4 倍。 直接法：先证明四边形 EFGH 是正方形，再由勾股定理求出 EH2(3)对于自变量的取值范围，要求学生要根据实际问题中自变量的实际意义来确定。 （4）对于第（2）小题，在求解并列表表示后，重点让学生看清 x 与 y 之间数值的 对应关系和内在的规律性：随着 x 的取值的增大，y 的值先减后增；y 的值具有对称 性。 练习： 用 20 米的篱笆围一个矩形的花圃（如图） ，设连墙的一边为 x,矩形的面积为 y,求： (1)写出 y 关于 x 的函数关系式.(2)当 x=3 时,矩形的面积为多少? a4ac4b2 四、归纳小结，反思提高 本节课你有什么收获？ 五、布置作业 课本作业题x26.2 二次函数的图像（二次函数的图像（1）教学目标教学目标： 1、经历描点法画函数图像的过程；2、学会观察、归纳、概括函数图像的特征；3、掌握型二次函数图像的特征；4、经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。 教学重点：教学重点：型二次函数图像的描绘和图像特征的归纳 2axy 教学难点：教学难点： 选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像，该过程较为复杂。 教学设计：教学设计： 一、回顾知识 前面我们在学习正比例函数、一次函数和反比例函数时时如何进一步研究这些函数 的？ 先（用描点法画出函数的图像，再结合图像研究性质。 ） 引入：我们仿照前面研究函数的方法来研究二次函数，先从最特殊的形式即入手。因此本节课要讨论二次函数（）的图像。2axy 2axy 0a板书课题：二次函数（）图像2axy 0a二、探索图像1、 用描点法画出二次函数 和图像2xy 2xy（1）列表x-2211-121021121122xy 44121410412141242xy-4-412-1-410-41-1-412-4引导学生观察上表，思考一下问题：无论 x 取何值，对于来说，y 的值有什么特征？对于来说，又有什2xy 2xy么特征？ 当 x 取等互为相反数时，对应的 y 的值有什么特征？ KK1,21（2）描点（边描点，边总结点的位置特征，与上表中观察的结果联系起来）.（3）连线，用平滑曲线按照 x 由小到大的顺序连接起来，从而分别得到和2xy 的图像。2xy2、 ：在同一直角坐标系中画出二次函数 和的图像。22xy 22xy学生画图像，教师巡视并辅导学困生。 （利用实物投影仪进行讲评）3、二次函数（）的图像2axy 0a由上面的四个函数图像概括出：（1）二次函数的图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物2axy 线， （2）这条抛物线关于 y 轴对称，y 轴就是抛物线的对称轴。 （3）对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。注意：顶点不是与 y 轴的交点。 （4）当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点，图像在 x 轴的oa f 上方(除顶点外)；当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点oa p 图像在 x 轴的 下方(除顶点外)。 （最好是用几何画板演示，让学生加深理解与记忆） 三、课堂练习观察二次函数和的图像2xy 2xy(1) 填空：抛物线2xy 2xy顶点坐标对称轴位 置开口方向(2)在同一坐标系内，抛物线和抛物线的位置有什么关系？如果在同2xy 2xy一个坐标系内画二次函数和的图像怎样画更简便？ 2axy 2axy(抛物线与抛物线关于 x 轴对称，只要画出与中的2xy 2xy2axy 2axy一条抛物线，另一条可利用关于 x 轴对称来画)四、例题讲解例题：已知二次函数（）的图像经过点（-2，-3） 。2axy 0a（1）求 a 的值，并写出这个二次函数的解析式。 （2）说出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置。 练习：（1）课本第 31 页课内练习第 2 题。 (2) 已知抛物线 y=ax2 经过点 A（-2，-8） 。（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点 B（-1，- 4）是否在此抛物线上。（3）求出此抛物线上纵坐标为-6 的点的坐标。 五、谈收获 1.二次函数 y=ax2(a0)的图像是一条抛物线. 2.图象关于 y 轴对称,顶点是坐标原点 3.当 a>0 时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线上的最低点;当 a0 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点。 当 a0 3.归纳: 二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质 (1).顶点坐标与对称轴 (2).位置与开口方向0y= -2x20y= 2x2yx(3).增减性与最值 当 a 0 时，在对称轴的左侧，y 随着 x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着 x 的增大而增大；当 时，函数 y 有最小值 。当 a 0 时，在对称轴的左侧，y 随着 x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着 x 的增大而减小。 当 时，函数 y 有最大值 4.探索二次函数与一元二次方程 二次函数 y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2 的图象如图所示.(1).每个图象与 x 轴有几个交点？ (2).一元二次方程 x2+2x=0,x2-2x+1=0 有几个根?验证一下一元二次方程 x2- 2x+2=0 有根吗? (3).二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴交点的坐标与一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根有什么关系? 归纳: (3).二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴交点有三种情况:有两个交点,有一个交点,没有交点.当二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴有交点时, 交点的横坐标就是当 y=0 时 自变量 x 的值,即一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根. 当 b2-4ac0 时，抛物线与 x 轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程 0=ax2+bx+c 的两个根 x1与 x2；当 b2-4ac=0 时，抛物线与 x 轴有且只有一个公共点； 当 b2-4ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点。 举例: 求二次函数图象 y=x2-3x+2 与 x 轴的交点 A、B 的坐标。 结论 1：方程 x2-3x+2=0 的解就是抛物线 y=x2-3x+2 与 x 轴的两个交点的横坐标。因 此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的。 即：若一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1、x2，则抛物线 y=ax2+bx+c 与轴的两 个交点坐标分别是 A（ x1，0） ，B（x2,0） 5.例题教学:例 1: 已知函数a2bx a2bx a4ac4b2 a4ac4b2 215x721yx2 写出函数图像的顶点、图像与坐标轴的交点，以及图像与 y 轴的交点关于图象对 称轴的对称点。然后画出函数图像的草图； (2)自变量 x 在什么范围内时， y 随着 x 的增大而增大？何时 y 随着 x 的增大而减少； 并求出函数的最大值或最小值。 归纳:二次函数五点法的画法 三.巩固练习: 请完成课本练习：p42. 1,2 四.尝试提高:1 五.学习感想: 1、你能正确地说出二次函数的性质吗？ 2、你能用“五点法”快速地画出二次函数的图象吗？你能利用函数图象回答有关性质 吗？ 六：作业：作业本,课本作业题 1、2、3、4。课题：课题：26.3 二次函数的性质