专题十三 新定义

专题十三专题十三 新定义新定义1.（2007 丰台一模丰台一模 12） 对于整数 a、b、c、d 规定符号bdaccb da ，若34b d11 ，则 b+d=_。2.（2007 宣武二模宣武二模 12）在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“*”如下：当ba 时，;bb*a2当ba 时，, ab*a则当2x 时，)x*3(x)x*1 (的值为_。 （“·”和“”仍为实数运算中的乘号和减号）3.3.（2008 朝阳二模朝阳二模 12）我们把分子为 1 的分数叫做理想分数，如21，31，41，任何一个理想分数都可以写成两个不同理想分数的和，如61 31 21，121 41 31，201 51 41，根据对上述式子的观察，请你思考：如果理想分数ban111(n 是不小于 2 的整数，且 ab)，那么 ba_(用含 n 的式子表示)4. （2008 东城二模东城二模 12）对于实数 u，v，定义一种运算“*”为 u*vuvv若关于 x 的方程 x*(a*x)41有两个相等的实数根，则满足条件的实数 a 的值是_5.5.（20082008 石景山二模石景山二模 1212）定义：平面中两条直线1l和2l相交于点O，对于平面上任意一点M,若, p q分别是M到直线1l和2l的距离，则称有序非负实数对, p q是点M的“距离坐标” ，根据上述定义， “距离坐标”是（1，2）的点的个数是_.6.6.（20102010 石景山二模石景山二模 1212）规定：用 m表示大于m的最小整数，例如25=3，5=6，1.3=1 等；用 m表示不大于m的最大整数，例如27=3，4=4，1.5= 2，如果整数x满足关系式: 1232xx，则x_.7.（2011 海淀二模海淀二模 12）某种数字化的信息传输中，先将信息转化为数字 0 和 1 组成的数字串，并对数字串进行了加密后再传输。现采用一种简单的加密方法：将原有的每个 1 都变成 10，原有的每个 0 变成 01。我们用0A表示没有经过加密的数字串。这样对0A进行一次加密就得到一个新的数字串1A，对1A再进行一次加密又得到一个新的数学串2A，依此类推，例如：0A：10，则1A：1001。若已知2A：100101101001，则0A：_，若数字串0A共有 4 个数字，则数字串2A中相邻两个数字相等的数对至少有_对。8. （2007 崇文二模崇文二模 11）用“”定义新运算：对于任意实数 a，b，都有 a. bab2例如，4, 97472那么 53_，1（12）_。9 （2007 西城二模西城二模 11）对于符号*作如下定义：对所有的正数 a 和 b，a*bbaab 那么10*2_10. （2008 崇文二模崇文二模 10）现规定一种运算：a*babab，其中 a，b 为实数，则 3*(1)的值等于_.11.(2008 西城二模西城二模 21)阅读下列材料：当矩形一角的平分线分矩形一边为 1cm 和 3cm 两部分时，这个矩形的面积为 4cm2或12cm2当矩形一角的平分线分矩形一边为 1cm 和 4cm 两部分时，这个矩形的面积为 5cm2或 20cm2根据以上情况，完成下面填空(1)当矩形一角的平分线分矩形一边为 1cm 和 5cm 两部分时，这个矩形的面积为_cm2或_cm2(2)当矩形一角的平分线分矩形一边为 1cm 和 ncm 两部分时，这个矩形的面积为_cm2或_cm2(n 为正整数)12.（2007 宣武一模宣武一模 18）在日常生活中如取款、上网等都需要密码。有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆。原理是：如对于多项式44yx，因式分解的结果是)yx)(yx)(yx(22，若取9y, 9x时，则各个因式的值是： 162)yx( ,18)yx( , 0)yx(22，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码。对于多项式23xyx4，取 x=10，y=10 时，写出一个用上述方法产生的密码，并说明理由。13.13.（2007 东城二模东城二模 23）阅读理解下面例题，并回答问题。例题：解一元二次不等式。分析：求解一元二次不等式时，应把它转化成一元一次不等式组求解。解：把二次三项式分解因式，得：，。由“两实数相乘，同号得正，异号得负”得或由，得不等式组无解；由，得。的解集是。原不等式的解集是。（1）仿照上面的解法解不等式。（2）汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素，某车行驶在一个限速为40 千米/时的弯道上，突然发现异常，马上刹车，但是还是与前面的车发生了追尾，事故后现场测得此车的刹车距离刚刚超过 10 米，我们知道此款车型的刹车距离 S（米）与车速x（千米/时）满足函数关系：，且刹车距离 S（米）与车速 x（千米/时）的对应值表如下：车速 x（千米/时）305070刹车距离 S（米）61528问该车是否超速行驶？14. （20082008 石景山二模石景山二模 2525）我们做如下的规定：如果一个三角形在运动变化时保持形状和大小不变，则把这样的三角形称为三角形板.把两块边长为 4 的等边三角形板ABC和DEF叠放在一起，使三角形板DEF的顶点D与三角形板ABC的 AC 边中点O重合，把三角形板ABC固定不动，让三角形板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点 M，射线DF与线段BC相交于点 N（1）如图 1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证ADMCND此时，AM·CN= （2）将三角形板DEF由图 1 所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为其中090oo问 AM·CN 的值是否改变？说明你的理由 （3）在（2）的条件下，设 AM= x，两块三角形板重叠面积为y，求y与x的函数关系式 （图 2，图 3 供解题用）P图 2图 3图 1ABCMND(O)EFABCMND(O)EFFED(O)MCB(N)A15.15. （2007 丰台一模丰台一模 25）在ABC 中，A、B、C 所对的边分别用 a、b、c 表示。（1）如图所示，在ABC 中，A=2B，且A=60°求证：) cb(ba2。（2）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的 2 倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形” 。 （1）中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角三角形ABC，其中A=2B，关系式) cb(ba2是否仍然成立？若成立，证明你的结论；若不成立，请说明理由。（3）试求出一个倍角三角形的三条边的长，使这三条边长恰为三个连续的正整数。16 （2007 西城一模西城一模 25）我们给出如下定义：三角形三条中线的交点称为三角形的重心一个三角形有且只有一个重心可以证明三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍可以根据上述三角形重心的定义及性质知识解答下列问题：如图，B 的平分线 BE 与 BC 边上的中线 AD 互相垂直，并且 BEAD4，(1)猜想 AG 与 GD 的数量关系，并说明理由；(2)求ABC 的三边长17. （2007 东城二模东城二模 17）对于任何实数，我们规定符号abcd 的意义是abadbccd，按照这个规定请你计算：当2310xx时13 21xx xx 的值。18.（2007 西城二模西城二模 25）我们给出如下定义：如图 1，平面内两直线 l1、l2相交于点 O，对于平面内的任意一点 M，若 p、q 分别是点 M 到直线 l1和 l2的距离(p0，q0)，称有序非负实数对p，q是点 M 的距离坐标图图 1根据上述定义请解答下列问题：如图 2，平面直角坐标系 xoy 中，直线 l1的解析式为 yx，直线 l2的解析式为y21x，M 是平面直角坐标系内的点(1)若 pq0，求距离坐标为0，0时，点 M 的坐标；(2)若 q0，且 pqm(m0)，利用图 2，在第一象限内，求距离坐标为p，q时，点 M 的坐标；(3)若 p1，q21，则坐标平面内距离坐标为p，q的时候，点 M 可以有几个位置?并用三角尺在图 3 中画出符合条件的点 M(简要说明画法)图图 2 图图 319.（20082008 石景山二模石景山二模 2424）研究发现，二次函数2axy （0a）图象上任何一点到定点（0，a41）和到定直线ay41的距离相等.我们把定点（0，a41）叫做抛物线2axy 的焦点，定直线ay41叫做抛物线2axy 的准线.（1）写出函数2 41xy 图象的焦点坐标和准线方程；（2）等边三角形 OAB 的三个顶点都在二次函数2 41xy 图象上，O 为坐标原点，求等边三角形的边长；（3）M 为抛物线2 41xy 上的一个动点，F 为抛物线2 41xy 的焦点，P（1，3）为定点，求 MP+MF 的最小值.20.(2009 东城二模东城二模 24)定义a，b，c为函数 yax2bxc 的“特征数” 如：函数yx22x3 的“特征数”是1，2，3，函数 y2x3 的“特征数”是0，2，3，函数 yx 的“特征数”是0，1，0(1)将“特征数”是 1 ,33, 0的函数图象向下平移 2 个单位长度，得到一个新函数，这个新函数的解析式是_(2)在(1)中，平移前后的两个函数分别与 y 轴交于 A、B 两点，与直线 x3分别交于D、C 两点，判断以 A、B、C、D 四点为顶点的四边形形状，请说明理由并计算其周长(3)若(2)中的四边形与“特征数”是1，21,22bb的函数图象的有交点，求满足条件的实数 b 的取值范围第 24 题图21.21.（20092009 宣武二模宣武二模 1616） 对于任何实数，我们规定符号dcba的意义是dcbaadbc按照这个规定请你计算：当 x23x10 时，1231xxxx的值22.22.（20092009 宣武二模宣武二模 2222）定义p，q为一次函数 ypxq 的特征数(1)若特征数是2，k2的一次函数为正比例函数，求 k 的值；(2)设点 A、B 分别为抛物线 y(xm)(x2)与 x 轴、y 轴的交点，其中 m0，且OAB 的面积为 4，O 为坐标原点，求图象过 A、B 两点的一次函数的特征数23.23.（20102010 昌平二模昌平二模 2222）我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称： ， ；（2）如图 1，已知格点（小正方形的顶点）(0,0)O，(3,0),(0,4)AB，请你画出以格点为顶点，,OA OB为勾股边且对角线相等的两个勾股四边形OAMB；（3）如图 2，将ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60o，得到DBE，连结,AD DC，30DCBo写出线段,DC AC BC的数量关系为