截面几何性质
第七章第七章 截面几何性质截面几何性质思考题与习题思考题与习题7-1如图所示 T 形截面，C 为形心，z 为形心轴，问 z 轴上下两部分对 z 轴的静矩存在什么关系？答：大小相等，正负号相反（上面的静矩为正） 。7-2如图所示矩形截面 m-m 以上部分对形心轴 z 的静矩和 m-m 以下部分对形心轴 z的静矩有何关系？答：同上。7-3惯性矩、惯性积、极惯性矩是怎样定义的？为什么它们的值有的恒为正？有的可正、可负、还可为零？略。教材中有关定义在有说明。7-4图 a 所示矩形截面，若将形心轴 z 附近的面积挖去，移至上下边缘处，成为工字形截面图 b，问此截面对 z 轴的惯性矩有何变化？为什么？答：惯性矩为变大。因为点到轴的距离越远越惯性矩越大，b)图离轴远的点更多。7-5图示直径为 D 的半圆，已知它对 z 轴的惯性矩，则对 z1轴的惯性矩如1284DIz下计算是否正确？为什么？1285 821284224 2 11DDDDAaIIz 答：不对。平行移轴公式中，的轴必须是过形心且与 z 平行的轴。2CzzIIa A CzI7-6惯性半径与惯性矩有什么关系？惯性半径 iz是否就是图形形心到该轴的距离？答：惯性半径与惯性矩两者之间的关系是： 。惯性半径不是图形形心到该轴z ziI A的距离。7-7图示各截面图形，以各截面的底边为 z1轴，试计算对 z1轴的静矩。解：a) 163200404020040160401.248 1022zS()mmb) 16340240200 100240402003.712 102zS()()mm或 163240240 120160200 1003.712 10zSmmc) 16340120804016040 1204012040201 152 1022zS()().mm7-8如图 720 所示截面图形，求（1）形心 C 的位置；（2）阴影部分对 z 轴的静矩。解：1.求形心 C 的位置。形心在 y 轴上，设到底边的距离为。Cy300500250140600 14070275 1300500600 140Cy(). mm2.阴影部分对 z 轴的静矩73275 1 140600 140275 170300275 1 1401.997 102* z.S(.)(.)mm 若利用图形对形心轴的静矩为零的性质，可以计算上半部分的静矩，取相反数，更简单。即73640275 1300640275 11.997 102* z.S(. )mm 7-9计算图示矩形截面对其形心轴 z 的惯性矩；已知 b=150mm，h=300mm。如按图中虚线所示，将矩形截面的中间部分移至两边缘变成工字形，计算此工字形截面对 z 轴的惯性矩，并求出工字形截面的惯性矩较矩形截面的惯性矩增大的百分比。解：1.矩形惯性矩33 84150300I3.375 101212zbhmm2.工字形惯性矩33 2845020035050I2125350505.875 101212z()mm或用负面积法33 84350300150200I25.875 101212zmm3.计算增大的百分比 p。8885.875 103.375 1010074 743.375 10p%.%7-10计算图示各图对形心轴 zc、yc的惯性矩。解：a)图3434 74240 1203 14260I223 329 1012641264CzbhD.mm342 2342 28460I230126424 2401203 142603 142602601 166 1012644CybhDD().().mmb)图3434 74200 803 142 80I221 054 101212812128CzbhD.mm32 42 232 42 284184I2100128923 20080183 1424044023 1424010012893 14223 3 142 1 227 10CybhRR()R() ).().() ). .mm 7-11计算图示图形对其形心轴 z 的惯性矩。解 1.计算形心轴到顶边的距离 d。1806030260 1526056024012060114 018060260 15260240()()d. mm2.计算对形心轴 z 的惯性矩。33 22841806018060180603018060114301 151 101212cIzI(d)().mm33 22 II8460 1560 1560 15260560 1521146053636 0 0109 10czI(d)().mm33 22 III846024060240602401206060240120601141212 1 318 10czI(d)().mm884 IIIIII21 15120 01081 318102 491 10 cccczzzzIIII( .).mm7-12计算图所示组合图形对形心主轴的惯性矩。解：由型钢表可查得。单个参数如下：面积 23219 2611 9261 10A.cm.mm形心到边的距离02 8428 4z.cm. mm对平行于边且过形心的轴的惯性矩464179 511 7951 10 CCyzII.cm.mm由于是对称轴，且过形心，根据形心主轴的性质可知、 是形心主轴。DyDzDyDz66422 1 7951 103 590 10 DCzzII.mm263264 0252 1 7951 101 926 1028 457 887 10 DCyyI(IA ( z) )( .(.) ).mm7-13要使图示两个10 工字钢组成的截面对两个形心主轴的惯性矩相等，求距离 a的值。解：查表得对单个工字钢：面积 23214 3451 4345 10A.cm.mm46433 00 330 10 CyI. cm.mm4642452 45 10 CzIcm.mm对两个工字钢6464222 45 104 90 10 CzzII.mm.mm22 63220 330 101 435 1044CyyaaI(IA)( .)要使截面对两个形心主轴的惯性矩相等，即：2 6634 90 1020 330 101 435 104a.( .)解得：76 9a. mm
