(一)函数概念及三要素

函数的概念、表示法与定义域一、映射与函数：（1）映射的概念： （2）一一映射：（3）函数的概念：二、函数的三要素：定义域，值域，对应法则。相同函数的判断方法：定义域相同；对应法则一样 (两点必须同时具备)（1）函数解析式的求法：定义法（拼凑）： 换元法： 待定系数法： 赋值法： （2）函数定义域的求法：，则 g（x）； 则 f（x）；)()( xgxfy 0)( )(*2Nnxfyn0，则 f（x）； 如：，则0)(xfy 0)(log)(xgyxf；( ) 0 0( ) 1( ) 1g x f xf x 或含参问题的定义域要分类讨论；对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。（3）函数的表示法：解析法、列表法与图象法。 （4）分段函数：一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同。 三.练习题:1. 已知集合 M1,2,3,m ，映射是从424,7,3 Nn nn*,m nN:31fyxM 到 N 的一个函数，则的值为(B)mnA2 B3 C4 D5 2下列对应关系是集合上的函数是有 2 P（1），对应关系“对集合中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应” ；*,PZ QN:fP（2），对应关系：； 1,1, 2,2,1,4PQ :fx2,yxxP yQ（3）三角形，对应关系“对中三角形求面积与集合Q中元素对P , |0Qx x:fP应 ”3.给出下列四个图形，其中能表示从集合 M 到集合30|,20|yyNxxMN 的函数关系的有（ C ） A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个xxxx1211122211112222yyyy 3OOOO4.若函数的定义域是，则函数的定义域是（B ）( )yf x0,2(2 )( )1fxg xxA B C D0,10,1)0,1)(1,4U(0,1)5.下列各组函数中，表示同一函数的是（ C ）A Bxxyy , 11, 112xyxxyC D 33,xyxy2)(|,|xyxy6.设函数则的值为（ A ）2211( )21xxf xxxx ，1 (2)ff ABCD15 1627 168 9187.（1）函数的定义域.答：)； 24lg3xxy x 0,2)(2,3)(3,4)UU（2）若函数的定义域为 R，则_(答：)；27 43kxykxkxk30,4（3）函数的定义域是，则函数的定义域是(答：( )f x , a b0ba ( )( )()F xf xfx)； ,aa（4）若函数的定义域为，则的定义域为_（答：)(xfy 2 ,21)(log2xf） ； （5）若函数的定义域为，则函数的定义域为42| xx2(1)f x 2,1)( )f x_（答：1,5） 8求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）；232yxx265yxx31 2xyx解：（1） （配方法），2212323323()61212yxxxQ的值域为。232yxx23,)12改题：求函数，的值域。232yxx1,3x解：（利用函数的单调性）函数在上单调增，232yxx1,3x当时，原函数有最小值为；当时，原函数有最大值为。1x 43x 26函数，的值域为。232yxx1,3x4,26（2）求复合函数的值域：设（） ，则原函数可化为。265xx 0y又，2265(3)44xxx ，故，040,2的值域为。265yxx0,2（3） （法一）反函数法：的反函数为，其定义域为，31 2xyx21 3xyx|3xR x原函数的值域为。31 2xyx|3yR y（法二）分离变量法：，313(2)773222xxyxxx，702x7332x函数的值域为。31 2xyx|3yR y9.（1）已知，求；2 211()f xxxx( )f x（2）已知，求；2(1)lgfxx( )f x（3）已知是一次函数，且满足，求；( )f x3 (1)2 (1)217f xf xx( )f x（4）已知满足，求。( )f x12 ( )( )3f xfxx( )f x(5)已知函数 y=x +x 与 y=g（x）关于点（-2，3）对称，求 g（x）的解析式2解：（1），22 2111()()2f xxxxxx（或） 。2( )2f xx2x 2x （2）令（） ，则，21tx 1t 2 1xt，。2( )lg1f tt2( )lg (1)1f xxx（3）设，( )(0)f xaxb a则，3 (1)2 (1)333222f xf xaxabaxab5217axbax，2a 7b 。( )27f xx（4） ，12 ( )( )3f xfxx把中的换成，得 ，x1 x132 ( )( )ff xxx得，2 33 ( )6f xxx。1( )2f xxx10. （1）设函数，则使得的自变量的取值范围是2(1) .(1)( ) 41.(1)xxf x xx ( )1f x x_（答：） ；（2）已知，则不等式(, 20,10 U1(0)( )1(0)xf xx的解集是_（答：）(2) (2)5xxf x3(, 211.（1）设函数).89(,)100()5()100(3)(fxxffxxxf求 （2）设函数f（x），则满足f（x）=的x值为 。 ), 1 (,log 1 ,(,281xxx41解：（1）这是分段函数与复合函数式的变换问题，需要反复进行数值代换，)101()104()99()94()89(fffffffffffff=)99()102()97()100()103()98(fffffffffff=.98)101()104( fff（2）当x（，1 ，值域应为， ，21当x（1，）时值域应为（0，） ，y，y（0，） ，41此时x（1，） ，log81x，x813。414112. 对于抛物线线上的每一个点，点都满足，则的取值范围 B xy42Q0 , aPaPQ a A0 ,B2 ,C 2 , 0D2 , 0巩固练习:13.函数 f(x)= +lg(3x+1)的定义域是 （ C ） xx132A.（-,-） B.（-,） C.（-，1） D.（-,+）31 31 31 31 3114.定义在 R R 上的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,yR R),f(1)=2,则 f(-3)等于（C ）A.2 B.3 C.6 D.915.已知函数(x)=f(x)+g(x),其中 f(x)是 x 的正比例函数,g(x)是 x 的反比例函数，且()=16, 31(1)=8,则(x)= 3x+x516.若函数1,0 ( )1( ) ,03xxxf x x 则不等式1|( )|3f x 的解集为_3,1._.本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.（1）由01|( )|301133x f xxx .（2）由00 1|( )|01111133333xxxxf xx.不等式1|( )|3f x 的解集为| 31xx ，应填3,1.17 .对于任意实数，定义 设函数ab, ,min , , .aaba bbab，则函数的最大值是_1_ . 2( )3, ( )logf xxg xx ( )min ( ), ( )h xf x g x18.若函数的定义域、值域都是闭区间2，2b，则b的42212xxy为 2 。 19.（1）设 f(x)是定义在实数集 R R 上的函数，满足 f(0)=1,且对任意实数 a、b, 有 f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),求 f(x); （2）函数 f(x) (x(-1,1)满足 2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求 f(x). 解解 （1）依题意令 a=b=x,则 f(x-x)=f(x)-x(2x-x+1), 即 f(0)=f(x)-x2-x,而 f(0)=1,f(x)=x2+x+1. （2）以-x 代 x,依题意有2f(-x)-f(x)=lg(1-x) 2f(x)-f(-x)=lg(1+x) 两式联立消去 f(-x)得3f(x)=lg(1-x)+2lg(1+x),f(x)=lg(1+x-x2-x3)(-1x1).3120.已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称，且 f(x)=x2+2x.（1）求 g(x)的解析式；（2）解不等式 g(x)f(x)-|x-1|. 解解 （1）设函数 y=f(x)的图象上任一点 Q(x0,y0)关于原点的对称点为 P(x,y),则 即 , 02, 0200yyxx .,00 yyxx点 Q（x0,y0）在函数 y=f(x)的图象上-y=x2-2x,即 y=-x2+2x,故 g(x)=-x2+2x.(2)由 g(x)可得：2x2-|x-1|0.| 1|)( xxf 当 x1 时，2x2-x+10,此时不等式无解.当 x1 时，2x2+x-10,-1x因此，原不等式的解集为.21 21, 121.如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为 2r，短半轴长为 r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下 底 AB 是半椭圆的短轴，上底 CD 的端点在