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2013版高中全程复习方略数学理:选修4-5.2证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式(人教A版·数学理)

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2013版高中全程复习方略数学理:选修4-5.2证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式(人教A版·数学理)

温馨提示:温馨提示:此套题为此套题为 WordWord 版,请按住版,请按住 Ctrl,Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节滑动鼠标滚轴,调节合适的观看比例,答案解析附后合适的观看比例,答案解析附后。课时提能演练课时提能演练( (七十一七十一) )1.(1)若 x3 或 y1,Mx2y26x2y,N10,求 M 与 N的大小关系.(2)当 a0 且 a1 时,求 loga(1 )与 loga(1a)的大小关系.1 a2.(1)(2012·咸阳模拟)已知0x1,a2,b1x,c,求 a、b、c 的大小关系.x1 1x(2)设 a,b,c,求 a、b、c 的大小关系.3265763.(易错题)若实数 x、y、m 满足|xm|ym|,则称 x 比 y 接近m.(1)若 x21 比 3 接近 0,求 x 的取值范围;(2)对任意两个不相等的正数 a、b,求证:a2bab2比 a3b3接近2ab.ab4.(2012·青岛模拟)已知数列an的前 n 项和为 Sn,通项公式为an ,f(n),1 n2n2nn 1Sn1 SSn2 , ,(1)计算 f(1),f(2),f(3)的值;(2)比较 f(n)与 1 的大小,并用数学归纳法证明你的结论.5.(1)设两个不相等的正数 a、b 满足 a3b3a2b2,求 ab 的取值范围.(2)已知 a,b,c 是ABC 的三边,且 ,则C 的取值范围.1 a1 b2 c6.已知数列an满足 a1 ,an1,3 5an 2an1(1)计算出 a2、a3、a4;(2)猜想数列an的通项公式 an,并用数学归纳法进行证明.7.(预测题)已知数列an满足 a11,an12an1(nN).(1)求数列an的通项;(2)证明: (nN).n 21 3a1 a2a2 a3nn 1a an 28.(2012·洛阳模拟)已知数列an、bn满足a12,an1an(an11),bnan1,数列bn的前 n 项和为 Sn.(1)求数列bn的通项公式;(2)设 TnS2nSn,求证:Tn1Tn;(3)求证:对任意的 nN有 1 n 成立.n 2n2S1 29.(1)记 S,求 S 与 1 的大小关系.101 2101 21101 22111 21(2)设偶函数 f(x)loga|xb|在(0,)上单调递减,求 f(b2)与f(a1)的大小关系.10.已知 a11,a24,an24an1an,bn,nN.n 1na a(1)求 b1、b2、b3的值;(2)设 cnbnbn1,Sn为数列cn的前 n 项和,求证:Sn17n.答案解析答案解析1.【解析】(1)MNx2y26x2y10(x3)2(y1)2又x3 或 y1,MN(x3)2(y1)20,即 MN.(2)loga(1a)loga(1 )1alogalogaa10,loga(1a)loga(1 ).1a11a1a2.【解析】(1)由于 0x1,那么 a,b,c 均为正数,由a2b2(2)2(1x)2(1x)20,知 ab;因为x1x21,所以 bc,所以 abc.bc1x11x(2)分子有理化得 a,b,c,13 216 517 6abc.3.【解析】(1)x21 比 3 接近 0,|x21|3解得2x2,x 的取值范围为(2,2);(2)对任意两个不相等的正数 a、b,有a2bab22ab,a3b32ab,abab因为|a2bab22ab|a3b32ab|abab(ab)(ab)20,所以|a2bab22ab|a3b32ab|,abab即 a2bab2比 a3b3接近 2ab.ab4.【解析】(1)由已知 f(1)S21 ,1232f(2)S4S1 ,1213141312f(3)S6S2 ;131415161920(2)由(1)知 f(1)1,f(2)1;下面用数学归纳法证明:当 n3 时,f(n)1.由(1)知当 n3 时,f(n)1;假设 nk(k3)时,f(k)1,即 f(k) 1,1k1k112k那么f(k1)1k11k212k12k112k2 11111 kk1k22k12k112k21k11 2k12k11 2k22k12k(2k1)2k(2k1)2k(2k2)2k(2k2)11,12k(2k1)1k(2k2)所以当 nk1 时,f(n)1 也成立.由和知,当 n3 时,f(n)1.所以当 n1 和 n2 时,f(n)1;当 n3 时,f(n)1.5.【解析】(1)a3b3a2b2(ab),a2abb2ab,(ab)2abab,ab(ab)2(ab),又0ab()2,ab20(ab)2(ab)()2,ab2解得 1ab .43(2)(ab)( )4,1a1b ,1a1b4ab又 ,1a1b2c ,即 c,4ab2cab2由余弦定理知:cosC(a2b2)a2b2c22ab12aba22abb24(3a22ab3b2)018ab0C .26.【解析】(1)an1,a1 ,an2an135a2,a12a11352 ×351311a3,a4.317323(2)由(1)知分子是 3,分母是以 5 为首项,6 为公差的等差数列.猜想数列an通项公式:an36n1用数学归纳法证明如下:当 n1 时,由题意可知 a1 ,命题成立;35假设当 nk(k1,kN)时命题成立,即 ak,36k1那么,当 nk1 时,ak1ak2ak136k12 ×36k1136k5.36(k1)1也就说,当 nk1 时命题也成立.综上所述,数列an的通项公式为 an.36n17.【解析】(1)an12an1(nN),an112(an1),数列an1是以 a112 为首项,2 为公比的等比数列.an12n,即 an2n1(nN).(2) ,nn 1a ann 121 21 112n212n12 .a1a2a2a3nn 1a an2kk 1a akk 121 21 12 k 11 2(21)1213·2k2k2 (),k1,2,3,n.121312k () .a1a2a2a3a3a4nn 1a an2131312nn213 (nN).n213a1a2a2a3nn 1a an28.【解析】(1)由 bnan1 得 anbn1,代入 an1an(an11)得 bn(bn1)bn1整理得 bnbn1bnbn1,bn0,否则 an1,与 a12 矛盾,从而得1.n 11 b1bnb1a111,数列是首项为 1,公差为 1 的等差数列.1bnn,即 bn .1bn1n(2)Sn1 12131nTnS2nSn1 (1 )12131n1n112n12131n.1n11n212n方法一:Tn1Tn(1n21n312n21n11n2)12n12n112n21n112n112n20,1(2n1)(2n2)Tn1Tn.方法二:Tn1Tn(1n21n312n21n11n2)12n12n112n21n112n112n22n12n2,.12n112n2Tn1Tn0.12n212n21n1Tn1Tn.(3)用数学归纳法证明:当 n1 时,1 1 ,n2121 , n 1,12S121212不等式成立;假设当 nk(k1,kN)时,不等式成立,即1 k,那么当 nk1 时k2 k2S121 1 1 k12S1212k k 11 2k212k1 k 11 2k21 1k212k121 k<+k+k12S1212k k 11 21212k1 k 11 21 2 (k1)12当 nk1 时,不等式成立.由知对任意的 nN不等式成立.9.【解析】(1)用放缩法,101 21101 2101 22101 2111 21.101 2S101 2101 21101 22111 211,即 S1.(2)函数 f(x)为偶函数,b0,即 f(x)loga|x|.又函数 f(x)在(0,)上为单调递减函数,0a1,f(b2)loga2,f(a1)loga(a1),而 a12.f(b2)f(a1).10.【解析】(1)因为 a24,a34a2a117,a472,所以 b14,b2,b3.1747217(2)由 an24an1an得4,n 2n 1a ann 1a a即 bn14.1bn所以当 n2 时,bn4,于是c1b1b217,cnbnbn14bn117(n2),所以 Snc1c2cn17n.

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