立体几何试题精选,不用坐标法,求二面角大小,证明垂直、平行。

用真心感受学生 用真情感动学生 不怕不精，只怕不勤； 不怕无成，只怕无恒。一、推荐考题(p228 推荐高考 2009）(2009山东高考)如图，在直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中，底面 ABCD 为等腰梯形，ABCD，AB=4,BC= CD= 2,AA1=2,E,E1分别是棱 AD，AA 1的中点(1)设 F 是棱 AB 的中点，证明：直线 EE1平面 FCC1；(2)证明：平面 D1AC平面 BBlC1C证明 (1)法一:平面 ADD1A1FCC 1，EE 1包含于平面 ADD1A1 ，所以，直线 EE1平面 FCC1(2)在平面 D1AC 内或平面 BBlC1C 内找一根直线垂直于另一个平面，至少垂直于另一个平面内的一条直线，以此入手，这是证明此类题的关键，ACBC，ACCC1，AC 平面 BBlC1C，平面 D1AC平面 BBlC1C二、 （P233 例题 3文）文长方体 ABCD -A1BlC1D1中，AA 1= ，AB =BC=2，O 是底面对角线的交点2求证：(1)B 1D1平面 BC1D;(2)求证：A 1O平面 BC1D 证明：（2）A 1O平面 BC1D，A 1O 必定垂直于 C1O,可以求出 A1O,C1O,A1C1的长度，用勾股定理可以证明 A1O 垂直C1O，BDA 1O，所以，A 1O平面 BDC13、 （P234,2009浙江高考) （用到平移直线法，因为 F 为 PB 的中点,FM面 BOE 不好求，PN面 BOE 好求）如图，平面 PAC平面 ABC，ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形，E，F，O 分别为 PA，PBAC 的中点，AC=16,PA=PC=10.(1)设 G 是 OC 的中点，证明：FG平面 BOE;(2)证明：在ABO 内存在一点 M，使 FMBOE，并求点 M 到 OA、OB 的距离证明 (1)如图，取 PE 的中点为 H，连纯 HG、HF.因为点 E，0，G，H 分别是 PA，ACOC，PE 的中点，所以 HG/OE，HF/EB.所以平面 FGH/平面 BOE因为 FG 在平面 FGH 内，所以 FG/平面 BOE(2)在平面 OAP 内，过点 P 作 PNOE，交 OA 于点 N，交 OE 于点 Q连结 BN，过点 F 作 FMPN，交 BN 于点 MON=OP TANNPO = OP * OQ/PQ=9/2 < OA,(先求 PQ,再求 OQ)所以点 N 在线段 OA 上 因为 F 是 PB 的中点，所以 M 是 BN 的中点,BONO因此点 M 在AOB 内，点 M 到 OA ,OB 的距离分别为 1/2 0B=4, 1/2 0N = 9/4， （14 分） 用真心感受学生 用真情感动学生 不怕不精，只怕不勤； 不怕无成，只怕无恒。四、 （p232 考点 1 例题 1）如图；已知 PA 垂直于矩形 ABCD 所在平面，M,N 分别是 AB，PC 的中点，若PDA=45°，求证：MN平面 PCD 【证明】 法一：PA平面 ABCD PAAD，PDA=45PA=AD=BC,又 M是 AB的中点，RtPAMRtCBM，MP=MC,N 是 PC的中点MNPC,设 E是 CD的中点，连接 ME、EN,CD平面 PADCDPD,PDNECDNE，CDMECD平面 MNECDMNMNCD，MNPC，PCCD=CMN平面 PCD法二：如图，取 PD的中点 F连接 AF，NF，AF面 PCD,AFMN，MN平面 PCD（用到平移直线法，因为 N 为 PC 的中点，MN 平移到 AF 处，在证明垂直时常常用到直线平移法,上题也如此）五（P253 三 解答题 10）(求二面角 A-PC-D的大小，先过 APC面上一个点 A画线 AE二面角的另一个面 PCD于点E,再过垂足 E做直线 EN二面角的棱 PC于垂足 N,连接 AN，ENA 即为所求的二面角 A-PC-D 的平面角，第一步画出垂线是关键)如图，四棱锥 P - ABCD 的底面是矩形，侧面 PAD 是正三角形，且侧面 PAD底面 ABCD，E 为侧棱 PD 的中点(1)求证：PB/平面 EAC(2)若 AD=AB，试求二面角 A-PC-D 的正切值解：法一：(1)证明：连接 BD交 AC于点 0，连接 OE，在三角形 pdb中，OE / PB，又 OE 平面 AEC，PB/平面 AEC(2)设 AD =AB=PD=PA=a,侧面 PAD底面 ABCD，CDAD,CD侧面 PAD,CDAE,AEPD,AE平面 PDC，在平面 PAC 内做 ANPC 于 N，连接 EN,ENA 是二面角 A-PC-D 的平面角，AEN=90°，TANANE = AE/EN两个平面互相垂直，在一个面内垂直于它们交线的直线即垂直于另一个平面，侧面 PAD底面 ABCD，CDAD 交线，CD面 PAD,CDPD,CPD=45°，在 RtPNE SINCPE =EN/PE 和 RtPDC 中 SINCPE = DC/PCEN= a,在等边PAD 中， AE= a,tanANE=AE/EN = 42236六、(p254,12 题）如图甲，直角梯形 ABCD 中，ABCD，DAB=90°M、N 分别在 AB，CD 上，且MNAB，MCCB,CB=2，MB=4，现将梯形 ABCD 沿 MN 折起，使平面 AMND 与平面 MNCB 垂直（如图乙） 。(1)求证：AB平面 DNC;(2)当 DN 的长为何值时，二面角 D- BC-N 的大小为 30°（先过点画线面，后线棱，再连两点成线，方法同上题，这是做此类题的基本方法） 用真心感受学生 用真情感动学生 不怕不精，只怕不勤； 不怕无成，只怕无恒。解：(1)证明：MB/NC，MB 平面 DNC，NC 平面 DNC， MB平面 DNC同理 MA平面 DNC，又 MAMB=M，且 MA、MB 平面 MAB，所以平面 MAB平面 DNC,AB 平面 MAB,所以 AB平面DNC;(2)过 N作 NHBC 交 BC延长线子 H，DHN 为二面角 D-BC-N的平面角。tanNHD=DN/NH = 3CN=4-2COS 60°=3,NH=3 SIN 60°，DN=NH* /3=3/237、 （p232 例题 2）如图，在三棱柱 ABC-A1BlC1中，ABBC.BCBC 1,AB=BC1.E、F、G 分别为线段 AC1、A 1C1、BB 1的中点，求证：(1)平面 ABC平面 ABC1；(2) FG平面 ABlC1平行线转换法，EBFG原题给出 E 是 AC1 中点，暗示用到此点，用到平移直线法，因为 F 为 A1C1的中点，FG 与平面 AB1C1内的直线不搭界(2)平面 ABC平面 ABC1,CB交线 AB,CB面 ABC1， CBBE，CBB 1C1， BEB 1C1，在等腰三角形ABC1中，E 是底边 AC1的中点，BEAC 1， BE平面 ABlC1， ， BE FG ，FG平面 ABlC1八、 （p233 例 3） （理科 2009 北京高考）在三棱锥 P-ABC 中，PA底面 ABC，PA=AB,ABC=60°，BCA= 90°，点D、E 分别在棱 PB、PC 上，且 DEBC(1)求证；BC平面 PAC; (2)当 D 为 PB 的中点时，求 AD 与平面 PAC 所成的角的正弦值，(3)是否存在点 E 使得二面角 A-DE-P 为直二面角？并说明理由（不定 E 点位置，线存在即可）【解】 (1)证明；PA底面 ABC，PABC又BCA=90。ACBC，所以 BC平面 PAC(2)ED/BC，又由(1)知，BC平面 PAC，所以 DE平面 PAC.DAE 是 AD与平面 PAC所成的角，在 RTDAE 中，SinDAE=DE/AD=BC/2AD= /42（3）因为 PA底面 ABC，所以 PAAC，所以PAC=90，所以在棱 PC上存在一点 E,使得 AEPC又因为 BC面 PAC,所以面 PBC面 PAC，面 PBC 面 PAC=PC,故AEPC 即可 AE面 PBC,使得二面角 A-DE-P 为直二面角，故存在 点 E使得二面角 A-DE-P是直二面角九、考题 4（苏教必修二 p65 页）已知 ABCD -A1BlCID1是棱长为 3 的正方体，点 E 在 AA1上，点 F 在 CC1上，且AE= FC1 =1.(1)求证：E、B、F、D 1四点共面；(2)若点 G 在 BC 上，BG= ,点 M 在 BB1上，GM BF，垂足为 H，2求证：EM平面 BCClB1；(3)用 表示截面 EBFD1和侧面 BCClB1所成锐二面角的大小，求 tan . 用真心感受学生 用真情感动学生 不怕不精，只怕不勤； 不怕无成，只怕无恒。解析 (1)如图在 DD1上取点 N，使 DN =1，连结 EN,CN，则 AE =DN =1,CF =ND1=2.因为 AEDN，NDlCF，所以四边形 ADNE、CFD1N 都为平行四边形，FD1 平行且等于 BE, E、B、F、D 1四点共面(2)因为 GMBF，叉 BMBC，所以BGM=CFB， MB=BG*TanBGM =BG·tan CFB =BG*BC/CF=3/2×2/3=1因为AEBM，所以四边形 ABME为平行四边形，从而 AB/ EM.又 AB平面 BCClB1,所以 EM平面 BCC1B1(3)连结 EH，因为为 MHBF，EMBF，所以 BF平面 EMH，使得 EHBF,于是EHM 是所求的二面角的平面角，即EHM=因为MBH=CFB，所以 MH = BM.sin MBH=BM.sin CFB ，tan=EM/MH= 39、 求二面角的大小方法：先过一面上一个点画线二面角的另一个面于 E,再过垂足 E做直线 EN二面角的棱PC于垂足 N,连接 AN，ENA 即为所求的二面角 A-PC-D 的平面角，第一步是关键先过点画线面，后线棱，再连两点成线，上述九道题中所有求二面角大小的题都是用的此方法。10、 求直线与平面所成角的大小方法：先过 AB线上一个点 A画直线 AE平面,交平面于点 E,连接 BE，AEB 即为所求。第一步是关键。11、 证明面 1面 2的方法：在 1面内找一个直线面 2，看那一条直线像是面 2的直线，至少面 2内的一条直线。十二、证明直线平面时用到平移直线法。什么时候平移：直线甲某平面，无法证明，看不出直线甲和某平面内的直线的关系，平移到乙位置，可看出直线乙和某平面内的直线的关系，即先证明直线乙某平面，达到证明直线直线甲某平面。十三、直线平移的法则：平移办法：1、中位线法、2 平行四边形法，