动态系统-控制理论
状态方程状态方程陈剑陈剑 清华大学经管学院清华大学经管学院清华大学经管学院清华大学经管学院123内容提要内容提要 基本概念 线性系统 状态变量图 状态变量图 传递函数与状态方程 传递函数与状态方程 小结4基本概念基本概念1960s以前，控制理论以传递函数为基础，重点对单输入 、单输出的定常系统进行研究。以前，控制理论以传递函数为基础，重点对单输入 、单输出的定常系统进行研究。随着科技（特别的航空、航天技术）和社会的发展，计算 机的出现，需要控制的系统越来越复杂，促使人们探索其随着科技（特别的航空、航天技术）和社会的发展，计算 机的出现，需要控制的系统越来越复杂，促使人们探索其 它的研究工具状态变量法。它的研究工具状态变量法。状态变量法状态变量法：将系统的运动方程写成将系统的运动方程写成一一阶微分阶微分（差分差分）方方状态变量法状态变量法：将系统的运动方程写成阶微分将系统的运动方程写成阶微分（差分差分）方方 程组的形式加以分析、研究。程组的形式加以分析、研究。该方法有该方法有一一下特点下特点：该方法有下特点该方法有下特点：适用于适用于MIMO、时变、非线性、随机、时变、非线性、随机、.系统系统采用矩阵描述方式采用矩阵描述方式，形式简洁形式简洁、运算方便运算方便采用矩阵描述方式采用矩阵描述方式，形式简洁形式简洁、运算方便运算方便对系统进行分析时，可方便地将系统的初值包括进去对系统进行分析时，可方便地将系统的初值包括进去有助于采用有助于采用一一些新的控制方法些新的控制方法，如如：全状态反馈全状态反馈，最优控制等最优控制等；5有助于采用些新的控制方法有助于采用些新的控制方法，如如：全状态反馈全状态反馈，最优控制等最优控制等； 以及应用计算机进行控制。以及应用计算机进行控制。基本概念基本概念有关定义有关定义状态：指系统在运动过程中的某种特征量。用于描述系统的主要状态：指系统在运动过程中的某种特征量。用于描述系统的主要 特征和态势。如：力学系统中的位移、速度、加速度；生产管理 系统中的库存水平、生产率、价格等。特征和态势。如：力学系统中的位移、速度、加速度；生产管理 系统中的库存水平、生产率、价格等。例例考虑个质点作直线运动考虑个质点作直线运动x(t)例例：考虑考虑一一个质点作直线运动个质点作直线运动xv(t)0x(t)0显然，它的状态就是它每一时刻的位置和速度，即： ( )和 ( )它们反映了该质点运动的规律x(t)和v(t)。它们反映了该质点运动的规律。注意：仅考虑位置是不够的！6基本概念基本概念状态变量：是确定系统状态的最小一组变量（不唯一），状态变量：是确定系统状态的最小一组变量（不唯一）， 满足满足：满足满足：在任何时刻在任何时刻t=t0，这组状态变量的值，这组状态变量的值，xi(t0)，i=1,2,n(设系统有设系统有n 个状态变量个状态变量)，都表明系统在该时刻的状态值都表明系统在该时刻的状态值个状态变量个状态变量)，都表明系统在该时刻的状态值都表明系统在该时刻的状态值当系统在当系统在t t0的输入和的输入和t0时刻（初始）状态确定时，状态变量应完 全时刻（初始）状态确定时，状态变量应完 全能够表征系统未来的行为能够表征系统未来的行为。能够表征系统未来的行为能够表征系统未来的行为状态向量：描述系统的状态向量：描述系统的n个变量个变量xi(t)，i=1,2,n，组成的向，组成的向 量称为状态向量量称为状态向量量称为状态向量量称为状态向量 tx)()(1 T ntxtxtxtXtxtX)()()()( )()(212 7ntx)(基本概念基本概念状态空间状态空间以状态变量以状态变量为为状态空间状态空间：以状态变量以状态变量x1, x2, , xn为为 坐标构成的坐标构成的n维空间称为状态空间，维空间称为状态空间， 记作记作时刻时刻 的状态的状态以由以由记作记作Rn。时刻时刻t的状态的状态X(t)，可，可以由以由 Rn空间内以空间内以x1, x2, , xn为坐标的点为坐标的点 或以从原点出发的箭头指向或以从原点出发的箭头指向X的向量 表示。的向量 表示。n=3状态方程：描述系统状态变量与输状态方程：描述系统状态变量与输 入入/输出之间的输出之间的一一阶微分阶微分(差分差分)方程方程入入/输出之间的阶微分输出之间的阶微分(差分差分)方程方程 称为状态方程。称为状态方程。例例1：利息模型利息模型)()()1 () 1(kbkyky例例1：利息模型利息模型设在每年年终存入银行设在每年年终存入银行b(k)元元以以y(k)表示第表示第k年年初存款额年年初存款额)()()()(yy8以以y(k)表示第表示第k年年初存款额年年初存款额以表示银行的利率以表示银行的利率离散时间 模型基本概念基本概念例例2：电感电容电阻系统：电感电容电阻系统L：电感电感；R：电阻电阻；C：电容电容L：电感电感；R：电阻电阻；C：电容电容 ；y(t)：输出电压；：输出电压；u(t)：输入 电压：输入 电压u(t)y(t)i 由克希霍夫定律：由克希霍夫定律：y(t)1)(tdi)()(1)()(tudttiCdttdiLtRi )()()()(dii为状态变量和现选择)()()()(21dttitxtitx则有：为状态变量和现选择)(1)(1)()(211tuLtxLCtxLRtx 电感电容电阻系电感电容电阻系 统的状态方程统的状态方程(1)9 )()(12txtxLLCL统的状态方程统的状态方程(1)基本概念基本概念写成矩阵的形式写成矩阵的形式 tuLtxLCLR tx)(1 )(1 )( TtxtxtxLLCL)()()()( 0)( 01)(其中：txtxtx)()()(21其中：)(1)()()(dttittit为状态变量和如果选择)()()()(21dttiCtxtitx则有：为状态变量和如果选择R1)(1)(1)()(211tuLtxLtxLRtx 则有：tuLtxLLRtx)(1 )(11)( )(1)()()()()(12211txCtxLLL TtttC)()()(001其中10CTtxtxtx)()()(21其中：基本概念基本概念)()()()()(21dttitxdttiRtLitx则有为状态变量和如果选择)()(1)(tutxtx 则有：C)(1)(10 )( (t)(t)1)()()()(21xRxtxtutxCtxtutxLR LCtx)(0)(1)( (t)(t)(212xLxLtx TtxtxtxLL)()()(21其中：* 注意：状态变量的选择是不唯一的，导致状态方注意：状态变量的选择是不唯一的，导致状态方 程不唯一，但状态变量的个数是唯一的。程不唯一，但状态变量的个数是唯一的。11线性系统线性系统系统描述 一系统描述 一般地般地有有X(t)输入u(t)输出y(t) 般地般地，有有：状态方程（动态方程） )()()(),(),()( ttutxhtyttutxftx 状态方程（动态方程）输出方程（代数方程）),(),()(ttutxhty输出方程（代数方程）当系统为线性时当系统为线性时，有有：当系统为线性时当系统为线性时有有)()()()()(tutBtxtAtx )()()(txtCty12线性系统线性系统当系统为线性定常的，则有：当系统为线性定常的，则有：)()()(tButAxtx )()()(tDutCxty一般系统没 有这项注意注意：x(t), y(t), u(t)与与A, B, C的维数要配合的维数要配合。有这一项注意注意：x(t), y(t), u(t)与与A, B, C的维数要配合的维数要配合。13线性系统线性系统对于单输入对于单输入/单输出线性定常系统，其状态方程为：单输出线性定常系统，其状态方程为：)()()(tbutAxtx )()()()()(txctytbutAxtxTu(t), y(t)为标量，为标量，b, c为向量。为向量。14线性系统线性系统类似地，可以写出离散情况对应系统的状态方程类似地，可以写出离散情况对应系统的状态方程)()() 1(kkkfk ),(),()(),(),() 1( kkukxhkykkukxfkx离散系统离散系统 )()()()() 1(),(),()(kukBkxkAkxy离散线性系统离散线性系统)()() 1()()()(kBkAkkxkCky离散线性系统离散线性系统 )()()()() 1( kCxkykBukAxkx离散线性定常系统离散线性定常系统 )()() 1()()(kbukAxkxy离散线性定常单输离散线性定常单输 入入 单输出系统单输出系统15 )()(kxckyT入入/单输出系统单输出系统线性系统线性系统状态方程的确定状态方程的确定基本步骤基本步骤：基本步骤基本步骤：建立系统的运动方程建立系统的运动方程(机理，实验，机理，实验，)选择状态变量选择状态变量选择状态变量选择状态变量运动方程 状态方程运动方程 状态方程设某系统的运动方程为：设某系统的运动方程为： uyayayayn nn 01)1( 1)(n011由微分方程理论知：如果由微分方程理论知：如果y(0), y(0), , y(n-1)(0)及及t 0 时的输时的输 入入u(t)已知已知，则系统未来的运动状态由运动方程可以完全被确则系统未来的运动状态由运动方程可以完全被确入入u(t)已知已知，则系统未来的运动状态由运动方程可以完全被确则系统未来的运动状态由运动方程可以完全被确 定。因此，取定。因此，取y, y, , y(n-1)为系统的一组状态变量，即：为系统的一组状态变量，即：)()()()()()()1(n16)()(,),()( ),()()1( 21tytxtytxtytxn n线性系统线性系统那么，那么， )()()()(3221 txtxtxtx )()()()(32tttxtx )()()()()()(1101 tutxatxatxtxtxnnnnn )()()()(110nnn00010 )(0 )(00100 )(tutxtx 101000 aaaa 17)(0001)(11210 txtyaaaan 线性系统线性系统通过通过Ll变换求状态方程变换求状态方程通过通过Laplace变换求状态方程变换求状态方程 设系统的运动方程为设系统的运动方程为(单输入单输出单输入单输出)： ubububyayayaym mn nn 01)( 01)1( 1)(
