高等数学下(数二答案)

- 1 - 2011 届钻石卡学员基础阶段专项测试卷答案届钻石卡学员基础阶段专项测试卷答案 高等数学下（数二答案）高等数学下（数二答案） 一、选择题一、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分，每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。 ） 1 2 3 4 5 6 A A B D C D （1 ）设( )yf x=二 阶 可 导，0()0,( )0,fxfx= => 则 （ ） A d0.yy > D d0.yy> > 【答案】A 【解析】从下图可以看出 （2）考虑二元函数(),f x y的下面 4 条性质： (),f x y在点()00,xy处连续； (),f x y在点()00,xy处的两个偏导数连续； (),f x y在点()00,xy处可微； (),f x y在点()00,xy处的两个偏导数存在. 若用“PQ表示可由性质P推出性质Q,则有 （ ） A B C D 【答案】A 【解析】因为题设所列 4 条性质的因果关系图是,故选 A. （3）已知函数( , )zf x y=在点(1,2)处可微,且(1,2)1,(1,2)2,(1,2)3xyfff=.设函数 ( )( ,2 ( ,2 )xf xf xx=,则(1)等于 （ ） A 25 B 50 C 75 D 100 【答案】B 【解析】引入函数( )( ,2 )xf xx=,则( )( ,2 ( )xf xx=.从而 12( )( ,2 ( )2( )( ,2 ( )xf xxx fxx=+, 令1x =即得 12(1)(1,2 (1)2(1)(1,2 (1)ff=+ (*) 可见为了求得(1)只需算出(1)与(1)的值并代入上式.由( )x的定义可得(1)= - 2 - (1,2)f1=.又因 12( )( ,2 )2( ,2 )xf xxfxx=+, 在上式中令1x =可得12(1)(1,2)2(1,2)(1,2)2(1,2)22 38xyffff=+=+=+ × =,把以上结果代入(*)式就有 12(1)(1,2)2 8(1,2) ff=+ × × (1,2) 16(1,2)2 16 350.xyff=+=+×= （4）设3123,444DDDxyxyxyIdxdy Idxdy Idxdy+=且 22( , )|(1)(1)2Dx yxy=+,则有 （ ） A 321III且0A与曲线lnyx=在点00(,)xy处有公共切线,求: (1) 常数a及切点00(,)xy； (2) 两曲线与x轴围成的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积xV. 【解析】(1) 由ya x=知2ayx =.由lnyx=知1 2yx =. （2 分） 由于两曲线在00(,)xy处有公共切线,可见001 22a xx=,得021xa=. 将021xa=分别代入两曲线方程,有021yaa=. 于是 2 0211,axeea=,2 02111yaeae= 从而切点为2(,1)e. （6 分） (2) 将曲线表成y是x的函数,V是两个旋转体的体积之差,套用旋转体体积公式,可得 旋转体体积为 - 7 - ()()()22222222222012211221212112222211()(ln)11(ln)2ln22ln2ln2 11ln221112222eexeeeeeeeVxdxxdxeexxxxdxxxeexdxexdxexxxdxxxeedxeee= = += += += +1 2=（10 分） （16） （本小题满分 10 分）设可导函数( )f x满足( )( ) 0cos2sin1xf xxf ttdtx+=+，求( )f x. 解： 在方程( )( ) 0cos2sin1xf xxf ttdtx+=+两端关于x求导，得 ( )( )( )cossin2sin1fxxf xxf xx+= 即 ( )( )tansecfxx f xx+= （4 分） 且在原方程中取0x=，可得( )01f=。 （5 分） 由一阶线性方程的通解公式，得 ( )()()tantan2seccosseccostansincosxdxxdxf xex edxCxxdxCxxCxCx=+=+=+=+（8 分） 代入初始条件( )01f=，可得1C =， （9 分） 故 ( )sincosf xxx=+ （10 分）