光的衍射习题(附答案)1(1)

光的衍射（附答案）一填空题1. 波长 = 500 nm（1 nm = 10- 9 m）的单色光垂直照射到宽度a = 0.25 mm 的单 缝上，单缝后面放置一凸透镜，在凸透镜的焦平面上放置一屏幕，用以观测 衍射条纹今测得屏幕上中央明条纹之间的距离为d = 12 mm，则凸透镜的 焦距 f 为 1 m2. 在单缝夫琅禾费衍射实验中，设第一级暗纹的衍射角很小，若钠黄光（1 589 nm）中央明纹宽度为4.0 mm，则 2 442 nm （1 nm = 10- 9 m）的蓝紫色光的中央明纹宽度为3.0 mm3. 平行单色光垂直入射在缝宽为a = 0.15 mm 的单缝上，缝后有焦距为f = 400 mm 的凸透镜，在其焦平面上放置观察屏幕现测得屏幕上中央明纹两侧的 两个第三级暗纹之间的距离为8 mm，则入射光的波长为500 nm（或 5× 10-4mm）4. 当一衍射光栅的不透光部分的宽度b与透光缝宽度 a满足关系b = 3a 时，衍 射光谱中第 ± 4, ±8, 级谱线缺级5. 一毫米内有500 条刻痕的平面透射光栅，用平行钠光束与光栅平面法线成 30°角入射，在屏幕上最多能看到第5 级光谱6. 用波长为 的单色平行红光垂直照射在光栅常数d = 2 m （1 m = 10- 6 m）的光栅上，用焦距 f = 0.500 m的透镜将光聚在屏上，测得第一级谱线与透镜主 焦点的距离 l = 0.1667 m，则可知该入射的红光波长 =632.6或 633nm7. 一会聚透镜，直径为3 cm，焦距为 20 cm照射光波长 550nm为了可以分 辨，两个远处的点状物体对透镜中心的张角必须不小于2.24×10- 5rad这时 在透镜焦平面上两个衍射图样中心间的距离不小于4.47 m8. 钠黄光双线的两个波长分别是589.00 nm和 589.59 nm（1 nm = 10-9 m），若平面衍射光栅能够在第二级光谱中分辨这两条谱线，光栅的缝数至少是 5009. 用平行的白光垂直入射在平面透射光栅上，波长为1 = 440 nm的第 3 级光谱 线将与波长为 2 =660 nm的第 2 级光谱线重叠（ 1 nm = 10- 9 m）10. X 射线入射到晶格常数为d 的晶体中，可能发生布拉格衍射的最大波长为 2d二计算题11.在某个单缝衍射实验中，光源发出的光含有两种波长1和 2，垂直入射于单 缝上假如1的第一级衍射极小与2的第二级衍射极小相重合，试问：(1) 这两种波长之间有何关系？(2) 在这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还有其它极小相重合？解：(1) 由单缝衍射暗纹公式得a sin1= 1 1a sin2= 2 2由题意可知1 = 2, sin1= sin2代入上式可得1 = 2 2(2)a sin1= k11=2 k12(k1=1, 2, ) sin1= 2 k12/ a a sin2= k22(k2=1, 2, )sin2= 2 k22/ a若 k2= 2 k1，则 1= 2，即 1的任一 k1级极小都有 2的 2 k1级极小与之重合12.在单缝的夫琅禾费衍射中，缝宽a = 0.100 mm，平行光垂直如射在单缝上， 波长= 500 nm，会聚透镜的焦距 f = 1.00 m求中央亮纹旁的第一个亮纹的 宽度 x解：单缝衍射第1 个暗纹条件和位置坐标x1为a sin1= x1 = f tan1f sin1f / a (1很小) 单缝衍射第 2 个暗纹条件和位置坐标x2为a sin2 = 2 x2 = f tan2f sin2 2 f / a ( 2很小) 单缝衍射中央亮纹旁第一个亮纹的宽度 x1 = x2- x1f (2 / a - / a) = f / a=1.00×5.00×10- 7/(1.00×10-4) m =5.00mm13. 在单缝夫琅禾费衍射中，垂直入射的光有两种波长，1 = 400 nm，2 = 760 nm（1 nm = 10- 9 m）已知单缝宽度 a = 1.0×10- 2 cm，透镜焦距 f = 50 cm(1) 求两种光第一级衍射明纹中心间的距离 (2) 若用光栅常数a = 1.0×10-3cm 的光栅替换单缝，其它条件和上一问相 同，求两种光第一级主极大之间的距离解：(1) 由单缝衍射明纹公式可知a sin1= 1 2(2 k + 1) 1 = 1 21（取 k = 1）a sin2= 1 2(2 k + 1) 2= 3 22tan1= x1/ f，tan2= x1/ f由于sin1 tan1，sin2 tan2 所以x1= 3 2f 1 / a x2= 3 2f 2 / a 则两个第一级明纹之间距为 x1= x2- x1= 3 2f / a = 0.27 cm (2) 由光栅衍射主极大的公式d sin1= k 1 = 1 1 d sin2= k 2 = 1 2 且有sin = tan = x / f 所以 x1= x2- x1 = f / a = 1.8 cm14. 一双缝缝距 d = 0.40 mm，两缝宽度都是 a = 0.080 mm，用波长为 = 480 nm （1 nm = 10- 9 m）的平行光垂直照射双缝，在双缝后放一焦距f = 2.0 m 的透 镜求： (1) 在透镜焦平面的屏上，双缝干涉条纹的间距l；(2) 在单缝衍射 中央亮纹范围内的双缝干涉数目N 和相应的级数解：双缝干涉条纹(1) 第 k 级亮纹条件： d sin = k 第 k 级亮条纹位置： x1= f tan1f sin1k f / d相邻两亮纹的间距： x= xk +1- xk = (k + 1) f / d - k / d= f / d = 2.4×10- 3 m = 2.4 mm (2) 单缝衍射第一暗纹： a sin1= 单缝衍射中央亮纹半宽度： x0 = f tan1 f sin1 k f / d = 12 mm x0/ x = 5 双缝干涉第± 5 级主极大缺级 在单缝衍射中央亮纹范围内，双缝干涉亮纹数目N = 9 分别为 k = 0, ±1, ±2, ±3, ±4 级亮纹或根据 d / a = 5 指出双缝干涉缺第± 5 级主极大，同样可得出结论。15. 用钠光（ = 589.3 nm）垂直照射到某光栅上，测得第三级光谱的衍射角为 60° (1) 若换用另一光源测得其第二级光谱的衍射角为30° ，求后一光源发光的波 长 (2) 若以白光（400 nm 760nm）照射在该光栅上，求其第二级光谱的张角解：(1) (a+b) sin =3a+b = 3 / sin ，= 60 °a+b = 2 ' / sin' ，' = 30 °3 / sin = 2 ' / sin' ' = 510.3nm (2) a+b = 3 / sin=2041.4 nm 2' = arcsin (2×400 / 2041.4) nm ( = 400 nm) 2'' = arcsin (2×760 / 2041.4) nm ( = 760 nm) 白光第二级光谱的张角 = 2'' - 2' = 25 °16. 一束平行光垂直入射到某个光栅上，该光栅有两种波长的光，1 = 440 nm， 2 = 660 nm实验发现，两种波长的谱线（不计中央明纹）第二次重合于衍 射角 = 60 ° 的方向上，求此光栅的光栅常数d解：由光栅衍射主极大公式得d sin1= k 1 d sin2= k 2 sin1 sin2= k11 k22= 440 k1 660 k2= 2 k1 3 k2当两谱线重合时有1= 2 即k1 k2= 3 2= 6 4= 9 6= ?两谱线第二次重合即是k1 k2= 6 4，k1 = 6， k2 = 4 由光栅公式可知 d sin60 ° = 6 1 d =6 1 sin60 °= 3.05×10- 3 mm 17. 将一束波长 = 589 nm（1 nm = 10-9 m）的平行钠光垂直入射在1 厘米内有 5000条刻痕的平面衍射光栅上，光栅的透光缝宽度a与其间距 b 相等，求： (1) 光线垂直入射时，能看到几条谱线？是哪几级？ (2) 若光线以与光栅平面法线的夹角= 60°的方向入射时，能看到几条谱 线？是哪几条？解：(1) (a+b) sin?= k 当 ? = /2 时，k = (a+b) / = 3.39，kmax = 3 又 a = b，(a+b) sin?= 2a sin?= k 有谱线 a sin? = k / 2 但当 k = ± 2, ±4, ±6, 时缺级 能看到 5 条谱线，为 0, ±1, ±3 级(2) (a+b) (sin + sin?)= k ， = 30 °，? = ± 90°? = 2，k = (a+b) (sin30 °+ sin90 °) / = 5.09取 kmax = 5 ? = - 2，k = (a+b) (sin30 °- sin90 °) / = - 1.7取 k'max = -1 a = b 第 2, 4, 级缺级 能看到 5 条谱线，为+5, +3, +1, 0, - 1 级18. 波长 = 600 nm （1 nm = 10- 9 m）的单色光垂直入射到一光栅上，测得第二级主极大的衍射角为30° ，且第三级是缺级(1) 光栅常数(a + b) 等于多少？(2) 透光缝可能的最小宽度a 等于多少？(3) 在选定了上述(a + b) 和 a 之后，求在衍射角 2< < 2范围内可能观察到的全部主极大的级次解：(1) 由光栅衍射的主极大公式得a + b =k sin= 2.4×10- 4 cm (2) 若第三级不缺级，则由光栅公式得(a+b) sin' = 3 由于第三级缺级，则对应于最小可能的a，' 方向应是单缝衍射第 一级暗纹：两式比较，得a sin' = a =a + b 3= 8.0×10- 3 cm (3) (a+b) sin = k （主极大） a sin = k' （单缝衍射极小） (k' = 1, 2, 3, ) 因此 k = 3, 6, 9, 缺级；又 kmax = a + b = 4， 实际呈现出的是k = 0, ±1, ±2 级明纹（k = ±4 在 /2 处不可见）19. 在通常亮度下，人眼瞳孔直径约为，若视觉感受最灵敏的光波长为 = 480 nm（1 nm = 10- 9 m），试问：(1) 人眼最小分辨角是多大？ (2) 在教室的黑板上，画的等号两横线相距2 mm，坐在距黑板 10 m 处的同学能否看清？（要有计算过程）解：(1) 已知得 d = 3 mm， = 550 nm，人眼的最小分辨角为： = 1.22 / d = 2.24×10- 4 rad (2) 设等号两横线相距 x = 2 mm 时，人距黑板刚好看清，则l = x / = 8.9 m 所以距黑板 10m 处的同学看不清楚20.一平面透射多缝光栅，当用波长1 = 600 nm（1 nm = 10- 9 m）的单色平行光垂直入射时，在衍射角= 30°的方向上可以看到第2 级主极大，并且在该处恰能分辨波长差 = 5×10- 3 nm 的两条谱线当用波长2= 400 nm 的单色平行光垂直入射时，在衍射角