必修4第二章 平面向量

必修必修 4 第二章第二章 平面向量平面向量背景资料背景资料向量进入中学数学的背景分析向量进入中学数学的背景分析 1、从几何的历史和发展看向量的地位：几何的历史和发展大约经历了如下几个阶段，实验 几何、演绎几何（综合几何） 、代数几何、拓扑、分析几何直到现代的整体微分几何和大范 围分析和代数拓扑建立在某个代数结构或一般集合上的几何结构的研究是大的方向，即 几何代数化是几何研究发展的必然趋势同时，几何、代数和分析也越来越相互关联，互 为工具几何处理的“向量化”，也就是几何代数化的一个方面2、目前我国中学数学中几何代数化的处理：包括代数方程，如这样的形式，再221xy加上坐标几何的学习但由于代数曲线和曲面的进一步学习和研究更为抽象，如果中学阶 段的学习和研究仅停留在二维平面中的圆锥曲线分析上，以此为基础很难发展到高次、高 维曲线和曲面的代数结构分析和分类，代数几何的发展要求是中学数学学习向量的必然原 因 3、向量的双重性：向量是一个具有几何和代数双重身份的概念，同时向量代数所依附的线 性代数是高等数学中一个完整的体系，具有良好的分析方法和完整结构通过向量的运用 对传统问题的分析，可以帮助学生更好地建立代数与几何的联系，也为中学数学向高等数 学过渡奠定了一个直观的基础 4、认识向量的另外角度：把平面和空间看出是一个向量场，可以培养学生对结构数学的认 识，比如在学习平面向量基本定理后，可以发展学生把平面看成一个 2 维的代数系统，这 个系统就是由两个不平行向量的线性组合得到，同样在空间上可以使学生认识到 3 维扩建 就是一个有 3 个不共面的向量生成的一个代数结构而结构数学是现代数学发展的主要方 向 5、 “数、量与运算”的扩大：从“数、量和运算”发展的角度理解“向量”，把向量的加法（减 法） 、数乘以向量和向量的数量积看作新的运算，使学生认识到数、量和运算的形式在不断 的发展 6、数学和物理学的关系在向量中的体现：数学和物理学的关系在中学阶段应该得到重视和 发展，向量在力学中的应用即使在中学阶段也是不难发现的 7、数学“机械化”与向量的关系：吴文俊先生在数学教育现代化问题一文中明确指出： 数学教育现代化问题就是机械化问题 8、向量的教学实践过程可行性问题：在中学阶段引入是完全可以接受的第一，学生有初 步的平面坐标几何的基础；第二，教师有良好的立体几何的教学背景，教师在把传统的综 合几何转移到向量代数处理立体几何时有很好的直观背景，并可以使之迁移到学生的学习 过程中去除此之外，现代化技术（包括多媒体教学技术和后 PC 时代的掌上技术）在向 量的“教与学”中可以帮助教师和学生利用图形计算器、计算机和动态几何软件不仅可以 解决几何“直观性”的问题，同时也使得学生的向量学习入门更容易理解 9、对向量的认识误区：向量进入我国中学数学课程是一个不可逆转的趋势，但在整个发展 过程种也不可避免地出现了一些在这个问题上的认识误区认为向量就是把立体几何简化 论和解题方法的多样性的确，向量的引入有助于平面几何与立体几何某些问题的解决， 同时也为其它一些初等数学问题的解决提供了更多的选择但问题的关键不能仅仅停留在 这个层次上来看待向量在中学数学中的引入，而应该从更大的范围和角度认识向量，最为 重要的是较为全面地把握向量的发展与其它数学结构的关系 2.1 向量的线性运算向量的线性运算 2.1.1 向量的概念向量的概念一、问题探究：一、问题探究： 问题问题 1 我们知道物理学中“力”是既有大小又有方向的量，结合生活实际，请比较这类 量与长度这类量的区别？进一步谈谈位移、向量与矢量的区别与联系，并体会什么是“自由 向量”，举例说明； 答：位移是自由向量，向量分成自由向量和有作用点的向量矢量是物理学中的向量 问题问题 2 类比实数的性质，向量怎么表示？能不能说两个向量相等？进一步我们就像知道 它是不是有加减乘除运算？答：有向线段是向量的直观形象用表示有向线段方向相同，长度相等的向量是相ABuuu r等向量，可以用一条有向线段表示只是方向相同的向量，不能用一条线段表示关于向 量的线性运算我们下一节课将深入学习。 问题问题 3 实数中有 0，有 1，有互为相反数的数，在向量体系中有没有对应的概念？ 答：有零向量，长度为零，方向不确定的向量，与任何向量都共线，也与任何向量都垂 直有单位向量，就是模长为 1 的向量，模长相等，方向相反的向量就是相反向量。 二、例题分析二、例题分析例题例题 1 如图 2-1，在等腰梯形 ABCD 中，ABCD， E、F 分别是对角线 AC 和 BD 的中点，在以 A、B、C、D、E、F 为起点或终点的向量中（1）找出与共线的向量；EFuuu r（2）找出与相等的向量；CEuuu r（3）找出与相等的向量CEuuu r分析：分析：向量的平行与共线是同一个概念，因此在判断时要注意与平面几何中的区别，并且抓住“方向相同或相反”；与、的方向无关abrrarbr解：解：（1）与共线的向量有：、；EFuuu r ABuuu r BAuu u r CDuuu r DCuuu r（2）与相等的向量有：；CEuuu r EAuu u r（3）与相等的向量有：、CEuuu r ECuuu r EAuu u r AEuuu r FDuuu r DFuuu r FBuu u r BFuuu r例题例题 2 （1）设，为三个平面向量，下列命题：arbrcr 若，则； 若，则；/abrr/acrr/bcrrarcrbrcrarbr 若，则； 若，则abrr/abrr/abrrabrr正确的为（ B ）（A） （B） （C） （D） （2）下列命题正确的是（ C ）（A）与共线，与共线，则与也共线arbrbrcrarcrFEDCBA图 2-1（B）任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点（C）向量与不共线，则与都是非零向量arbrarbr（D）有相同起点的两个非零向量不平行 （3）给出下列命题：若，则；的充要条件是且；且是=abrrabrrabrrabrr/a br rarbrabrrar的既不充分也不必要条件；共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；任一向量br与它的相反向量不相等 其中不正确的命题是_ 练习练习 A1下列物理量中，不能称为向量的是（ A ）（A）质量 （B）速度 （C）位移 （D）力 2下列命题中，正确的是（ 没有正确选项 ）（A）若，则arcrbrcrarbr（B）若向量与是共线向量，则 A、B、C、D 四点必在同一条直线上ABCD（C）若，则4AB3CDABuuu rCDuuu r（D）若，则abrrarbr3在四边形 ABCD 中，=，且|=|，则四边形 ABCD 是（ D ）ABuuu r DCuuu r ABuuu r ADuuu r（A）平行四边形 （B） 正方形 （C） 矩形 （D）菱形4如图 2-2，D、E、F 依次是等边三角形 ABC 的边 AB、BC、AC 的中点，在以A、B、C、D、E、F 为起点或终点的向量中（1）找出与相等的向量；DEuuu r（2）找出与共线的向量DFuuu r答案：（1）、；（2）、AFuuu rFCuuu rFDuuu rBEuuu rECuuu rBCuuu rEBuu u rCEuuu rCBuu u r5如图 2-3，四边形 ABCD 为平行四边形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，则（ C ）（A） （B） （C）与OAOCuu u ruuu rABCDuuu ruuu rADuuu r共线 （D）CBuu u r/OA OCuu u ruuu r6如图 2-4，O 是正六边形 ABCDE 的中心，且，OAauu u rr，在以 A，B，C，D，E，O 为端点的向量中：OBbuuu rrABcuuu rrFEDCBA图 2-2图 2-3BDCAOOABCDEF图 2-4（1）与相等的向量有 ；、arDOuuu rCBuu u rEFuuu r（2）与相等的向量有 ；、br EOuuu rFAuu u rDCuuu r（3）与相等的向量有 、cr FOuuu rOCuuu rEDuuu r练习练习 B1在ABC中，AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点，则（ B ）（A）与共线 （B）与共线ABuuu r ACuuu r DEuuu r CBuu u r（C）与相等 （D）与相等ADuuu r AEuuu r ADuuu r BDuuu r2设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ C ）arbr|ab abrr rr（A） （B） （C） （D）ab rr/abrr2abrr且/abrr| |abrr3在四边形 ABCD 中，=，且|=|，则四边形 ABCD 是（ A ）ABuuu r DCuuu r ADuuu r BCuuu r（A）平行四边形 （B）正方形 （C） 矩形 （D）菱形4设，都为零向量，都为单位向量，则（ A ）arbr1eu r2eu u r（A）且 （B）且abrr12eeu ru u rabrr12eeu ru u r（C）且 （D）且abrr12eeu ru u rabrr12eeu ru u r2.1.2、2.1.3、2.1.4 向量的线性运算向量的线性运算 一、问题探究一、问题探究 问题问题 1 类比实数的运算，请你结合物理学中的力的合成与分解，探究向量加法和减法， 构建向量的运算体系，并请研究这种运算的性质。 参考：教师向学生渗透三角形法则与四边形法则的关系，向量加法的运算法则有哪些？ 怎么验证？ 答：首尾相连的两个向量相加用三角形法则，起点相同的两个向量的加法用平行四边形法 则，平行四边形法则可以理解为，通过平移将起点相同的两个向量变成首尾相连的两个向 量，然后利用三角形法则指向终点交换律，结合律教材第 82 页 如何理解向量减法与加法的关系？ 答：减法是一个向量加上另外一个向量的相反向量 减法有无三角形法则、平行四边形法则？ 答：当起点相同的两个向量作减法时，利用三角形法则，指向被减，当两个向量首尾相连 作减法是，利用平行四边形法则 三角形法则与多边形法则的关系？答：三角形法则是基础，多个首尾的向量的加法就是三角形法则的推广，核心思想是指向 终点 问题问题 2 在实数中，乘法可以看成是相同数的加法，那么在向量中，我们怎么定义相同向 量的加法？并请探究这种运算的性质。 参考：教师注意渗透下面几个方面数乘向量的几何意义是什么？这里的“数”指的是什 么数？答：把向量沿着的方向（或反方向）放大或者缩小实数arar思考教材第 89 页的思考与讨论 答：能，一致 数乘向量的运算律确保向量的哪些运算？ 答：能做与整式相同的运算 二、例题分析二、例题分析例题例题 1 如图，在平行四边形 ABCD 中，O 为对角线的交点化简ABODOCuuu ruuu ruuu r分析：分析：根据图形的特征，研究最佳的解题方法，这里虽然可以应用法则化简，但不利于进一步化简现在ODO