高数中需要掌握证明过程的定理(二)
高数中的重要定理与公式及其证明（二） 在第一期的资料内我们总结了高数前半部分需要掌握证明过程的定理，由于最近比较忙，所以一直没来 得及写。现将后半部分补上。希望对大家有所帮助。 1）泰勒公式（皮亚诺余项）设函数( )f x在点0x处存在n阶导数，则在0x的某一邻域内成立200'''( ) 000000( )()()().()2!n nnxxxxf xf xxxfxfxfxoxxn【点评】：泰勒公式在计算极限、高阶导数及证明题中有很重要的应用。对于它们，我们首要的任务是记住常见函数（sin ,cos ,ln(1),(1)xaxxx ex）在0x处的泰勒公式，并能利用它们计算其它一些简单函数的泰勒公式，然后在解题过程中加以应用。在复习的前期，如果基础不是很好的话，两种不同形式 的泰勒公式的证明可以先不看。但由于证明过程中所用到的方法还是很常用的。因此把它写在这里。 证明：令200'''() 00000( )( )()()().()2!nnxxxxR xf xfxxxfxfxfxn则我们要证明0( )nR xoxx。由高阶无穷小量的定义可知，需要证明0 0( )lim0nxxR xxx。这个极限式的分子分母都趋于零，并且都是可导的， 因此用洛必达法则得001''''( )0 0000100( )()().()1 !( )limlimnnnnxxxxxxfxfxxxfxfxnR xxxn xx再次注意到该极限式的分子分母仍趋于零，并且也都是可导的，因此可以再次运用洛必达法则。 不难验证该过程可以一直进行下去，运用过1n次洛必达法则后我们可以得到000(1)(1)( ) 00000(1)(1)( ) 000( )()()( )limlim!( )()()lim!nnnnxxxxnnnxxfxfxxxfxR x nxxxxfxfxfx nxxn由于( )f x在点0x处存在n阶导数，由导数的定义可知0(1)(1) ( )0 0 0( )()lim()nn nxxfxfxfxxx代入可得0 0( )lim0nxxR xxx。证毕 注：这个定理很容易得到如下错误的证明：直接用n次洛必达法则后得到00( )( ) 00( )limlim( )()0nn nxxxxR xfxfx xx错误的原因在于定理条件中仅告知了( )f x在点0x处存在n阶导数，并没有说明在其它点处的n阶导数是否存在。就算其它点处的n阶导数也存在，( )( )nfx也不一定连续，0( )( ) 0lim( )()0nnxxfxfx 也不一定成立。希望大家注意。 2）泰勒公式（拉格朗日余项）设函数( )f x含有点0x的某个开区间( , )a b内有直到1n阶导数，则对( , )a b内任意一点x，都成立200'''( ) 00000( )()()().()( )2!nn nxxxxf xf xxxfxfxfxR xn其中10(1)( )( )(1)!nn nxxRxfn，其中介于x和0x之间。【点评】：同上。 证明：令200'''() 00000( )( )()()().()2!nnxxxxR xf xfxxxfxfxfxn110( )nnPxxx则我们需要证明(1)1( )( )( )(1)!nnR xfPxn。由于010()()0nR xPx，因此01110( )()( )( )( )()nnnR xR xR xPxPxPx易知，1( ),( )nR xPx满足柯西中值的条件。因此，由柯西中值定理可知，在x和0x之间存在一点1使得'' 011 ' 110111( )()()()( )()()1()nnnnR xR xRRPxPxPnP而10'''''( ) 0000( )( )()().()(1)!nnxxR xfxfxxxfxfxn因此，此时仍然有' 00()()0nR xP x。则''' 101110()()()1 1()(1)()()nnnRR xR nPnPP x。易知，'( ),( )nR xP x仍满足柯西中值的条件。因此，由柯西中值定理可知，在1和0x之间存在一点2使得'''''' 1022 ' 10212()()()()111()()(1)()1()nnnnRR xRRnPP xnPnnP。由于1在x和0x之间，因此2也在x和0x之间。容易检验，上述过程可以一直进行下去，使用过1n次柯西公式后即可得到(1)1( )( ) ( )(1)!nnR xf Pxn。证毕 注：在计算极限或确定无穷小量的阶时，一般用到皮亚诺余项的泰勒公式；在做证明题时用拉格朗日余 项比较多。两种泰勒公式的条件是不同的，其中拉格朗日余项的条件更强，结论也更强。 这两个定理的证明，如果基础不太好一时接受不了的话可以先跳过，到下一阶段再看。3）定积分中值定理设函数( )f x在区间 , a b上连续，则在积分区间 , a b上至少存在一点使得下式成立：( )( )()baf x dxfba【点评】：积分中值定理是定积分比较定理和闭区间上连续函数的介值定理的推论，它在是证明微积分 基本定理的基础，在整个微积分中具有极大的理论意义。同时，证明题中对该定理的应用也比较常见， 通常会和微分中值定理结合使用，考生首先应该熟记该定理的条件和结论。另外，考试中还出现过与该 定理证明方法类似的证明题。因此，该定理的证明过程也是需要掌握的。该定理的证明过程教材上有， 因为比较重要，也为了方便大家，在这里写一下我的证明过程 证明：由于( )f x在区间 , a b上连续，由闭区间上连续函数的最值定理可知：( )f x在区间 , a b上可以取到最大与最小值。设最大值为M，最小值为m。则有( ),mf xM xa b。则有( )bbbaaamdxf x dxMdx，也即()( )()bam baf x dxM ba两边同时除以()ba可得( )baf x dx mMba。可知( )baf x dxba是介于函数( )f x在区间 , a b上的最大值M和最小值为m之间的一个数。由闭区间上连续函数的介值定理可知，( )fx能取到,m M上的一切数。因此在积分区间 , a b上存在一点使得：( ) ( )baf x dx fba。也即( )( )()baf x dxfba。 证毕 附：下面是 02 年数三的一道证明题，证明方法与本定理很类似，大家可以试一试。 【02 年数三 6 分】：设函数( ),( )f xg x在,a b上连续，且( )0g x。 试利用闭区间上连续函数的性质， 证明存在一点,a b，使得( ) ( )( )( )bbaaf x g x dxfg x dx。4）积分上限函数的导数如果函数( )f x在区间 , a b上连续，则变积分上限函数( )( )xaxf t dt在 , a b上可导，并且它的导数是'( )( )( ),xadxf t dtf xaxbdx 【点评】：这个定理的重要性不用强调了，考试中也直接考到过它的证明。由于是对定理的证明，因此要证明( )x的导数等于( )f x只能用定义，对于大家强化导数的定义是一个很好的训练。证明：,xa b由导数的定义可知，本定理等价于证明0()( )lim( ) xxxxf xx。而000( )( )( )()( )limlimlimxxxxxaaxxxxf t dtf t dtf t dtxxxxxx由于( )f x在区间 , a b上连续，因此由定积分中值定理可知：存在介于x与xx之间的使得( )( )xxxf t dtxf，则00()( )limlim( ) xxxxxfx。由于介于x与xx之间，因此当0x时，x。又由于( )f x在区间 , a b上连续，可知00lim( )lim( )( ) xfffx 。也即0()( )lim( ) xxxxfxx。由导数的定义可知'( )( )( ),xadxf t dtf x axbdx。证毕 5）牛顿 莱布尼兹公式如果函数( )F x是连续函数( )f x在区间 , a b上的一个原函数，则( )( )( )baf x dxF bF a【点评】：牛顿-莱布尼兹公式又名微积分基本定理，是因为它用一个简单的公式就成功地联系起了微积 分中最重要的两个概念：微分和积分，极大地简化了定积分的计算。它是微积分最核心的定理之一，其 简洁明了的形式也使它被认为是微积分几百年研究历史中最漂亮的结论之一！该定理和上一个定理实际 上是等价的，只需要用到一个函数在同一区间上的不同原函数间仅相差一个常数。大家不妨自己推证。6）柯西 施瓦兹不等式设函数( ),( )f xg x都在区间,a b上可积且平方可积（注意：这里没有说连续），则有2 22( ) ( )( )( )bbbaaaf x g x dxfx dxgx dx【点评】：这个公式是教材上的习题，在考试时可以直接用。该公式在( ),( )f xg x连续时也成立，但证明方法有区别，通过这个例子可以说明应用牛顿莱布尼兹公式时检验被积函数是否连续的重要性。 证明：法一：令2 22( )( ) ( )( )( ),xxxaaaF xf t g t dtft dtgt dt xa b则( )0F a。而'222222222( )2 ( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )2 ( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )0xxxaaaxaxaFxf x g xf t g t dtfxgt dtgxft dtf x g x f t g tfx gtgx ft dtf x g tg x f tdt因此( )F x在区间,a b上单调递减。则有( )( )0F bF a。整理即得所需不等式。 证毕注：就本题来说，这个证明过程是错的。因为本题没有说( ),( )f xg x连续，因此不能用变上限积分求导公式，也就是说对'( )Fx的计算是不合法的。把这个证明过程放在这里是因为在考研范围内我们遇到的函数大多是连续的，而且利用函数单调性的方法在积分不等式的证明中也是很有代表性的。法二：易知，tR，有2( )( )0baf xtg xdx。将括号打开可得2222( )( )( )2( ) ( )( )bbbbaaaaf xtg xdxtgx dxtf x g x dxfx dx将该式看作变量t的二次函数，( )h t。可知，( )0h t对任意的实数t都成立。由二次函数的相关理论可知，该二次函数的判别式小于或等于零也即2 222( ) ( )4( )( )0bbbaaaf x g x dxgx dxfx dx整理即得所需不等式。 证毕注：由于这种证明方法所用到的条件比( ),( )f xg x连续弱，因此当( ),( )f xg x连续时，该证明过程也成立。但这个证明过程所用到的方法不具有代表性，大家了解一下即可。7）二元函数偏导数存在与可微的关系如果函数( , )zf x y在点( ,)x y可微，则函数在该点连续且两个偏导数均存在，并且22zzzxyoxyxy【点评】：学到多元函数时第一个困扰我们的就是多元函数的可微与可导不再等价，它们与连续性的关 系也变得更为复杂了。下面希望能通过几个定理与反例来将这个关系说清楚。 证明：由可微的定义可知存在只与( ,)x y有关而与, xy实数,A B使得22zA xB yoxy在点( ,)x y附近成立。现证明zAx，由偏导数定义可知，这等价于证明0(, )( , )limxfxx yf x yAx。由于22zA xB yoxy 成立，因此(, )( , )f xx yf x yA xox则000(, )( , )limlimlim xxxA xoxoxf xx yf x yA xxx。由高阶无穷小的定义可知0lim0xoxx。因此，有0(, )( , )limxfxx yf x yAx。也即zAx。同理，可证zBy。证毕注 1：关于二元函数可微，偏导数存在、连续和偏导数连续的关系可以用
