每周一讲--第7讲--可导、可微与连续的关系
可导、可微以及连续之间的关系可导、可微以及连续之间的关系讲义内容：讲义内容：设函数在的邻域内有定义，如果在处可导，那么在( )f x0x( )f x0x( )f x处必然连续.0x讲解：讲解：函数在处可导，即存在，由于时，分母 f x0x 000lim xxf xf x xx 0xx，故分子，即函数在处连续。但是，这个命00xx 00lim0 xxf xf x f x0x题的逆命题不成立，如在点处是连续但不可导的。另外，我们也可以从图 f xx0x 形的角度区别可导与连续，可导指的是函数的图像是一条光滑的曲线，而连续是指函数的图像不间断。讲义内容：讲义内容：设函数在的邻域内有定义，那么函数在处可微与函数( )f x0x( )f x0x在处可导是等价的，也就是说：可微必可导，可导必可微.进一步地，我们还可以( )f x0x得到在处的微分.( )f x0x ' 0dyfxx讲解：讲解：若函数在处可微，则。 f x0x,0yA xoxx 根据导数的定义，故可微必可导。 000limlim xxA xoxyfxAxx 反之，若函数在处可导，则存在，不妨记，得 f x0x 0lim xy x 0lim xyAx ，即，由高阶无穷小的定义可知： 0lim0 xyAx 0lim0 xyA x x ，也即，故可导必可微。,0yA xoxx ,0yA xoxx 从该证明过程中也可以看出，函数在处可微时，其 f x0x,0yA xoxx 中的。 00,Afxdyfxdx讲解：讲解：简单解释一下上述定理的意义：首先，可导的函数必连续，这几乎是高等数学中最基本的结论之一了。它在解题时可以给我们一些隐藏的条件，只要题目中告诉了函数是可导的，也就意味着函数连续。另外，透过可导与可微的关系，我们可以弄清楚微分的几何意义同时，由于可导与可微等价，而微分的计算也等价与导数的计算，因此，对一元函数来说，只要弄清了导数，也就弄清楚了微分。而导数无论从理解的角度还是从应用的角度都要比微分方便很多，所以微积分将研究的重点放在了导数上。
