最新初中数学三角形知识应用大全

乐学教育-您值得信赖的专业化个性化辅导学校 ACB 第 8 第DHPGFEDCBA教师： 学生： 时间: 2013年 月 日 段一、授课目的与考点分析：二、授课内容： 第一部分：三角形基础回顾：第一部分：三角形基础回顾： 1三角形的分类三角形按边分类可分为_和_(等边三角形是等腰三角形的特殊情况)；按角分类可分为 _、_和_，2一般三角形的性质(1)角与角的关系：三个内角的和等于_°；三个外角的和等于_；一个外角等于和它不相邻的两 个内角之和，并且大于任何个和它不相邻的内角，_。(2)边与边的关系：三角形中任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。(3)边与角的大小对应关系：在一个三角形中，_边对等角；等角对等_。(4)三角形的主要线段的性质(见下表)：名称基本性质角平分线三角形三条内角平分线相交于一点（内心） ；内心到三角形三边距离相等；角 平分线上任一点到角的两边距离相等。中线三角形的三条中线相交于一点。高三角形的三条高相交于一点。边的垂直平分 线三角形的三边的垂直平分线相交于一点（外心） ；外心到三角形三个顶点的距离相 等。3. 几种特殊三角形的特殊性质（1）等腰三角形的特殊性质：等腰三角形的两个_角相 等；等腰三角形_、_中线和_是同一条线段，三 线合一；这条线段所在的直线是等腰三角形的对称轴。（2）等边三角形的特殊性质：等边三角形每个内角都等于 _°。三线合一 （3）直角三角形的特殊性质：直角三角形的两个锐角互为 _角； 4. 三角形的面积一般三角形：S = a h（ h 是a边上的高 21）例 1： (基础题) 如图, AC/DF , GH是截线.CBF=40°, BHF=80°. 求HBF, BFP, BED.BEF 例 2： (基础题) 在ABC 中，已知B = 40°，C = 80°，则A = （度）乐学教育个性化辅导授课案乐学教育个性化辅导授课案 ggggggggggggangganggang 纲乐学教育-您值得信赖的专业化个性化辅导学校 CDBA第 14 第：、 。如图，ABC 中，A = 60°，C = 50°，则外角CBD = 。 已知，在ABC 中， A + B = C，那么ABC 的形状为（ ）A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形 D、以上都不对 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A.3cm，4cm，8cm B.5cm，6cm，11cm C.5cm，6cm，10cm D.3cm，8cm，12cm如果一个三角形的三边长分别为x，2，3，那么x的取值范围是 。小华要从长度分别为 5cm、6cm、11cm、16cm 的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是_ _.已知等腰三角形的一边长为 6，另一边长为 10，则它的周长为 在ABC 中，AB = AC，BC=10cm,A = 80°，则B = ，C = 。BD=_,CD=_如图，AB = AC，BC AD，若 BC = 6，则 BD = 。画一画 如图，在ABC 中：（1）.画出C 的平分线 CD （2）.画出 BC 边上的中线 AE （3）.画出ABC 的边 AC 上的高 BF例 3： (提高)ABC 中，C=90°，B-2A=30°，则A= ，B= 在等腰三角形中，一个角是另一个角的 2 倍，求三个角？_ ：在等腰三角形中，周长为 40cm,一个边另一个边 2 倍，求三个边？_ 例 4 如图，D 是ABC 的C 的外角平分线与 BA 的延长线的交点，求证：BACB例 5.ABC 为等边三角形，D 是 AC 中点，E 是 BC 延长线上一点，且 CE = BC21求证： BD = DE第二部分勾股定理：第二部分勾股定理： 勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，斜边为，那么abc222abc 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理我国古代把直角三角形中较短的 直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三， 股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方BA卅卅譃譃乐学教育-您值得信赖的专业化个性化辅导学校 和等于斜边的平方 .勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：，化简可证4EFGHSSS正方形正方形ABCD2214()2abbaccbaHGFEDCBA方法二：bacbaccabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 221422Sabcabc大正方形面积为222()2Sabaabb所以222abc方法三：，化简得证1() ()2Sabab梯形2112S222ADEABESSabc梯形乐学教育-您值得信赖的专业化个性化辅导学校 abccbaEDCBA.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝 角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 .勾股定理的应用 已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中，则，ABC90C22cab22bca22acb知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 可运用勾股定理解决一些实际问题 .勾股定理的逆定理如果三角形三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边abc222abcc勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它22ab2c 们相等时，以，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，为三边的三角形abc222abcabc 是钝角三角形；若，时，以，为三边的三角形是锐角三角形；222abcabc 定理中，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，满abc222abcabc 足，那么以，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边222acbabcb勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角 形是直角三角形 .勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，为正整数时，222abcabc 称，为一组勾股数abc记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；等3,4,56,8,105,12,137,24,25用含字母的代数式表示组勾股数：n（为正整数） ；221,2 ,1nn n2,n n（为正整数）2221,22 ,221nnnnnn（，为正整数）2222,2,mnmn mn,mnmn勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使 用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用 勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线） ，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求 解乐学教育-您值得信赖的专业化个性化辅导学校 .勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体 推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边 的平方比较而得到错误的结论 .勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体通常既要通过逆 定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决 常见图形：ABC30° DCBAADBCCBDA题型一：直接考查勾股定理 例.在中，ABC90C已知，求的长6AC 8BC AB 已知，求的长17AB 15AC BC分析：直接应用勾股定理222abc解：2210ABACBC228BCABAC题型二：应用勾股定理建立方程 例. 在中，于， ABC90ACB5AB cm3BC cmCDABDCD 已知直角三角形的两直角边长之比为，斜边长为，则这个三角形的面积为 3:415 已知直角三角形的周长为，斜边长为，则这个三角形的面积为 30cm13cm 分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积有时可根据 勾股定理列方程求解 解：，224ACABBC2.4AC BCCDAB乐学教育-您值得信赖的专业化个性化辅导学校 DBAC设两直角边的长分别为，3k4k222(3 )(4 )15kk3k54S 设两直角边分别为，则，可得ab17ab22289ab60ab 1302Sab2cm例.如图中，求的长ABC90C12 1.5CD 2.5BD AC21EDCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解：作于，DEABE ，Q12 90C1.5DECD在中BDE2290 ,2BEDBEBDDEQRt ACDRt AEDQ ACAE在中，Rt ABC90C，222ABACBC222()4AEEBAC3AC例 4.如图，,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积Rt ABC90C3,4ACBCBAC答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理 例 5.如图有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一8cm2 cm8cm 棵数的树梢，至少飞了 m乐学教育-您值得信赖的专业化个性化辅导学校 ABCDE分析：根据题意建立数学模型，如图，过点作，垂足为，8AB m2CD m8BC mDDEABE 则，6AE m8DE m在中，由勾股定理得Rt ADE2210ADAEDE答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例 6.已知三角形的三边长为，判定是否为abcABCRt， ，1.5a 2b 2.5c 5 4a 1b 2 3c 解：，22221.526.25abQ222.56.25c 是直角三角形且ABC90C，不是直角三角形2213 9bcQ225 16a 222bcaABC例