线性代数知识点典型题
一、方程组一、方程组1 1、设方程组有非零解，则 k=（ ） 02022121 kxxxxA. 2 B. 0 C. 1 D. 42、若方程组有非零解，则 k=（ ） 0xkx0xx2121A. -1 B. 0 C.1D.23、设 A=为 3 阶非奇异矩阵，则齐次线性方程组的解为（ ）333231232221131211aaaaaaaaa000333232131323222121313212111xaxaxaxaxaxaxaxaxaA B C DT1 , 1 , 1T0 , 0 , 0Taaa131211,T)0 , 1 , 0(4、设矩阵 A=，若齐次线性方程组 Ax=0 有非零解，则数 t=（ ） 54332221t5、如果方程组有非零解,则 k=（ ） 0404033232321kxxxxxkxxA. -2 B. -1 C. 1D. 2 6、设 A 为 5 阶方阵，若秩（A）=3，则齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系中包含的解向量的个数是（ ） A2 B3 C4 D5 7、设 A 为 4×5 的矩阵，且秩（A）=2，则齐次方程 Ax=0 的基础解系所含向量的个数是（ ）8、设 A 为 5 阶的矩阵，且秩（A）=2，则齐次方程 Ax=0 的基础解系所含向量的个数是（ ）9、齐次线性方程组的解空间的维数是_. 032054354325431 xxxxxxxx10、线性方程组的解为（ ） 4284103520zyxzyxzyxAx=2,y=0,z=-2 Bx=-2,y=2,z=0 Cx=0,y=2,z=-2 Dx=1,y=0,z=-1 11、设非齐次线性方程组 Ax=b 的增广矩阵为，则该方程组的通解为（ ） 642002101012001MMM12、设，是 Ax=b 的解， 是对应齐次方程 Ax=0 的解，则（ ）12A. +是 Ax=0 的解B. +（-）是 Ax=0 的解112C. +是 Ax=b 的解D. -是 Ax=b 的解121213、方程组的通解是_.0xxx32114、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵 A 的秩为 3, 已经它的三个解向量为 其中bAX ,321，则该方程组的通解为（ ） 0864,214332115、求下列方程组的通解 . 0895, 4433, 13432143214321xxxxxxxxxxxx16、求线性方程组的通解 576533553232313454321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx17、求线性方程组的通解. 833453622632315432154325432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx18、求齐次线性方程组的通解. 0553204420432143214321xxxxxxxxxxxx19、已知线性方程组 axxxxxxxx3213213152231 （1）求当 a 为何值时，方程组无解、有解. （2）当方程组有解时，求出其全部解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.20、设 3 元线性方程组，1231231232124551xxxxxxxxx （1）确定当 取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？ （2）当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示） 二、行列式按行（列）展开性质二、行列式按行（列）展开性质1 1、设 D=， D 中元素的代数余子式,则=（ ）3465312186427931ijaijA44434241793AAAAA. 0 B. 3 C. 2D. 42、设D=， D中元素的代数余子式,则=（ ）34653021864212963ijaijA44424132AAAA. 0 B. 3 C. 2 D. 43 3、设 D=， D 中元素的代数余子式,则=（ ）3465312186427931ijaijA4443424132AAAAA. 0 B. 3 C. 2 D. 44、设 D 中元素的余子式和代数余子式依次记作和,求（1）,3142313150111253DijaijMijA； （2）14131211AAAA41312111MMMM5、设 D=， D 中元素的代数余子式，试求. 2211765144334321ijaijA44434241AAAA与6、已知 4 阶行列式 D 中第 1 行的元素分别为 1，2，0，-1，第 3 行的元素的余子式依次为 5，x，17，1，则 x=_. 三、向量三、向量 1、设向量=（4，-1，2，-2） ，则下列向量是单位向量的是（ ）A B C D3151912512、已知向量=（3，5，7，9） ，=（-1，5，2，0） ，如果+=，则=（ ）3、设 与 的内积（，）=2，=2，则内积（2+2+，-）=_. 四、秩四、秩1、设 A 为 n 阶非零矩阵，且（ ）)(, ),(2121ArbbbaaaAnn则LMAn B1 C2Dn-12、已知向量，则向量组)8 , 7 , 6 , 5(, )7 , 6 , 5 , 4(, )6 , 5 , 4 , 3(, ) , 5 , 4 , 3 , 2(4321的秩为（ ）4321,A1 B-1 C2 D-23、向量=（1，0，-2） ，=（3，0，7） ，=（2，0，6）. 则的秩为（ ）123321,4、设矩阵 A=, 若（ ）kkkk111111111111kAr则, 1)(5、已知向量组的秩为 2，则数 t=（ ）123(1,2, 1),(2,0, ),(0, 4,5)t 6、矩阵的秩= _. 555533331111 A7、求向量组，的秩与一个极大TTT)2, 5 , 4, 0(,)0 , 3 , 0 , 2(,) 1 , 1, 2 , 1 (321T) 1, 7 , 2, 3(4线性无关组.8、求向量组1=，2=，3=，4=的秩与一个极大线性无关组. 1115316265429、求向量组1=，2=，3=，4=的秩与一个极大线性无关组，并把不属于3412661192217211极大无关组的向量用极大无关组线性表示。10、求向量组的一个极大线TTTT)0 ,10, 3 , 1 (,)11, 3 , 2 , 3(,)4 , 2, 1, 1 (,)2 , 4 , 1 , 1 ()4321性无关组与秩.五、特征值与特征向量五、特征值与特征向量1、设 3 阶方阵 A 的特征多项式为，则=（ ）2(2)(3)EAAA. -18 B. -6 C. 6D. 182、设矩阵 A=，则 A 的线性无关的特征向量的个数是（ ） 3000130011201111A1 B2 C3D43、设=2 是可逆矩阵 A 的一个特征值，则矩阵（A2）-1必有一个特征值等于（ ）A B C2D441 214、设矩阵 A=，则 A 的特征值为（ ）001010100A1，1，0 B-1，1，1 C1，1，1 D1，-1，-15、设 A 为 3 阶矩阵，且已知|3A+2E|=0，则 A 必有一个特征值为（ ）6、设矩阵 A=，则 A 的线性无关的特征向量的个数是（ ） 3000130011201111A1 B2 C3D47、已知矩阵 A=的一个特征值为 0，则 x= （ ） x010101018、已知 3 阶方阵 A 的特征值为 1，-3，9，则 （ ）A319、已知 3 阶方阵 A 的特征值为 1，2，3，则 （ ）AA7523A10、设矩阵有一个特征值，对应的特征向量为，则数 a=（ ）211 00 413aA 21 2 2x 11、已知 3 阶方阵 A 的特征值为 1，2，3，则的特征值为 （ ）12A 12、已知 3 阶矩阵 A 的 3 个特征值为 1，2，-1，则|A*|= _.六、二次型六、二次型1、设二次型正定，则数 a 的取值应满足（ ）222 12312323( ,)2332f x xxxxxax xA. a9 B. 3a9 C.-3a3D. a-32、设矩阵 A=为正定矩阵，则 a 的取值范围是.（ ） 300021011a3、已知二次型是正定的，则 的取值范围是3231212 32 22 13216422),(xxxxxxxxxxxxf_.4、设矩阵为正定矩阵，则 取值为（ ） tt0002101t5、设有二次型则（ ）,xxx)x,x,x(f2 32 22 1321)x,x,x(f321A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定6 6、设，则二次型是（ ） 401061112 AAxxfTA. 正定 B. 负定 C. 半正定 D. 不定7 7、设，则二次型是（ ） 600031012 AAxxfTA.正定
