(江苏专用)高考数学二轮复习 专题检测43 几何证明选讲
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(江苏专用)高考数学二轮复习 专题检测43 几何证明选讲
43几何证明选讲1.如图,RtABC中,BAC90°,ADBC于D,BE平分ABC交AC于E,EFBC于F.求证:EFDFBCAC.证明BAC90°,且ADBC,由射影定理得AC2CD·BC,.EFBC,ADBC,EFAD,.又BE平分ABC,且EAAB,EFBC,AEEF,.由、得,即EFDFBCAC.2.(2014·陕西改编)如图,ABC中,BC6,以BC为直径的半圆分别交AB,AC于点E,F,若AC2AE,求EF的值解AA,AEFACB,AEFACB,2,EF3.3(2014·重庆改编)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点),再作割线PBC依次交圆于B,C.若PA6,AC8,BC9,求AB的值解由切割线定理得PA2PB·PCPB·(PBBC),即62PB·(PB9),解得PB3(负值舍去)由弦切角定理知PABPCA,又APBCPA,故APBCPA,则,即,解得AB4.4.如图,在RtABC中,C90°,BE平分ABC交AC于点E,点D在AB上,DEEB,且AD2,AE6.(1)判断直线AC与BDE的外接圆的位置关系;(2)求EC的长解(1)取BD的中点O,连结OE.BE平分ABC,CBEOBE.又OBOE,OBEBEO,CBEBEO,BCOE.C90°,OEAC,直线AC是BDE的外接圆的切线,即直线AC与BDE的外接圆相切(2)设BDE的外接圆的半径为r.在AOE中,OA2OE2AE2,即(r2)2r262,解得r2,OA2OE,A30°,AOE60°.CBEOBE30°,ECBE×r××23.5.如图,O的半径OB垂直于直径AC,M为AO上一点,BM的延长线交O于N,过N点的切线交CA的延长线于P.(1)求证:PM2PA·PC;(2)若O的半径为2,OAOM,求MN的长(1)证明连结ON,则ONPN,且OBN为等腰三角形,则OBNONB,PMNOMB90°OBN,PNM90°ONB,PMNPNM,PMPN.根据切割线定理,有PN2PA·PC,PM2PA·PC.(2)解OM2,在RtBOM中,BM4.延长BO交O于点D,连结DN.由条件易知BOMBND,于是,即,BN6.MNBNBM642.6如图,已知AB和AC是圆的两条弦,过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E,与AB相交于点F,AF3,FB1,EF,求线段CD的长解因为AF·BFEF·CF,解得CF2,所以,即BD.设CDx,AD4x,所以4x2,所以x.7(2014·课标全国)如图,四边形ABCD是O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CBCE.(1)证明:DE;(2)设AD不是O的直径,AD的中点为M,且MBMC,证明:ADE为等边三角形证明(1)由题设知,A,B,C,D四点共圆,所以DCBE,由已知CBCE得CBEE,故DE.(2)如图,设BC的中点为N,连结MN,则由MBMC知MNBC,故O在直线MN上又AD不是O的直径,M为AD的中点,故OMAD,即MNAD.所以ADBC,故ACBE.又CBEE,故AE,由(1)知,DE,所以ADE为等边三角形8.如图所示,已知AP是O的切线,P为切点,AC是O的割线,与O交于B、C两点,圆心O在PAC的内部,点M是BC的中点(1)证明:A,P,O,M四点共圆;(2)求OAMAPM的大小(1)证明连结OP,OM,因为AP与O相切于点P,所以OPAP,因为M是O的弦BC的中点,所以OMBC,于是OPAOMA180°.由圆心O在PAC的内部,可知四边形APOM的对角互补,所以A,P,O,M四点共圆(2)解由(1)得,A,P,O,M四点共圆,所以OAMOPM,由(1)得OPAP,由圆心O在PAC的内部,可知OPMAPM90°,所以OAMAPM90°.9(2014·辽宁)如图,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上一点且PGPD,连结DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,垂足为F.(1)求证:AB为圆的直径;(2)若ACBD,求证:ABED.证明(1)因为PDPG,所以PDGPGD.由于PD为切线,故PDADBA.又由于PGDEGA,故DBAEGA,所以DBABADEGABAD,从而BDAPFA.由于AFEP,所以PFA90°,于是BDA90°,故AB是直径(2)连结BC,DC.由于AB是直径,故BDAACB90°.在RtBDA与RtACB中,ABBA,ACBD,从而RtBDARtACB.于是DABCBA.又因为DCBDAB,所以DCBCBA,故DCAB.由于ABEP,所以DCEP,DCE为直角于是ED为直径由(1)得EDAB.10.如图所示,过圆O外一点M作它的一条切线,切点为A,过A点作直线AP垂直于直线OM,垂足为P.(1)证明:OM·OPOA2;(2)N为线段AP上一点,直线NB垂直于直线ON,且交圆O于B点过B点的切线交直线ON于K.证明:OKM90°.证明(1)因为MA是圆O的切线,所以OAAM.又因为APOM,在RtOAM中,由射影定理知,OA2OM·OP.(2)因为BK是圆O的切线,BNOK,同(1),有OB2ON·OK,又OBOA,所以OP·OMON·OK,即.又NOPMOK,所以ONPOMK,故OKMOPN90°.11如图,O和O相交于A,B两点,过A作两圆的切线分别交两圆于C,D两点,连结DB并延长交O于点E.证明:(1)AC·BDAD·AB;(2)ACAE.证明(1)由AC与O相切于A,得CABADB,同理ACBDAB,所以ACBDAB.从而,即AC·BDAD·AB.(2)由AD与O相切于A,得AEDBAD.又ADEBDA,得EADABD.从而,即AE·BDAD·AB.结合(1)的结论知,ACAE.12.如图,D,E分别为ABC边AB,AC的中点,直线DE交ABC的外接圆于F,G两点若CFAB,证明:(1)CDBC;(2)BCDGBD.证明(1)因为D,E分别为AB,AC的中点,所以DEBC.又已知CFAB,故四边形BCFD是平行四边形,所以CFBDAD.而CFAD,连结AF,所以四边形ADCF是平行四边形,故CDAF.因为CFAB,所以BCAF,故CDBC.(2)因为FGBC,故GBCF.由(1)可知BDCF,所以GBBD,所以BGDBDG.由BCCD知CBDCDB,又因为DGBEFCDBC,所以BCDGBD.