“方程组”中的思想方法全频道

Http:/www.fhedu.cn凤凰出版传媒集团 版权所有 网站地址：南京市湖南路 1 号 B 座 808 室联系电话：025-83657815 Mail：adminfhedu.cn“方程组”中的思想方法全频道数学思想方法是数学知识的精髓，是解题的指导思想，若能正确把握它，并把它落实 到学习和应用数学的活动中去，就相当于找到了打开智慧之门的金钥匙.在本章中主要有以 下几种思想方法： 一、化归思想一、化归思想 将所要研究和解决的问题转化为已经学过的问题来处理的数学思想称为化归思想，它 是一种研究和解决数学问题的基本思想.如方程组中含有多个未知数，解方程组的基本思想 是“消元” ，化多为少，而代入法和加减法则是落实化归思想的具体措施. 二、整体思想二、整体思想 所谓整体思想，就是解决某些数学问题时，不是“一叶障目” ，而是有意识地放大考虑 问题的“视角” ，从大处着眼，由整体入手，通过细心的观察和深入地分析，找出整体与局 部之间的联系，从而在宏观上寻求解决问题的途径.例 1 解方程组：. 8232 3327332 432yxyxyxyx分析：此题如果把和分别看做一个整体，分别用、来表示，那yx32 yx32 mn么方程组可简化为，易解得、的值，从而可求出、的值. 823734 nmnmmnxy解：令，.myx32nyx32则原方程组转化为，解得. 823734 nmnm 2460 nm把代入原设，得，解得.24,60nm 24326032 yxyx 149 yx点评：换元法是整体思想的体现，它可以化繁为简，分层次解复杂问题，依据方程组 的特点，灵活运用不同的解题方法. 三、主元思想三、主元思想 当一个方程组中出现了三个未知数，即未知数的个数多于方程的个数时，我们可以将 其中的两个未知数当成主元，而把其他的未知数看成常数来处理，这就是主元思想.例 2 已知，求代数式的值. 0720634 zyxzyx)0(xyzzxzyx 92 分析：题中条件是两个方程，显然不能求出三个未知数的值.我们不妨假定为已知数，z 把看作未知数来求解.yx,Http:/www.fhedu.cn凤凰出版传媒集团 版权所有 网站地址：南京市湖南路 1 号 B 座 808 室联系电话：025-83657815 Mail：adminfhedu.cn解：由题意，得， zyxzyx 72634解这个关于的二元一次方程组，得.yx, zyzx 23所以.166 9343 92 zz zzzzz zxzyx点评：为了求的值，我们设法将三个未知数统一成一个未知数，这体现了zxzyx 92 消元思想.为了将三个未知数统一成一个未知数，我们将看作常数，解关于的二元一zyx, 次方程组，这体现了主元思想. 四、建模思想四、建模思想 以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程组， 解方程组和检验”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的数学模 型. 例 3 某地的一种绿色蔬菜，在市场上若直接销售，每吨利润为 1000 元，经粗加工后 销售，每吨利润 4000 元，经精加工后销售，每吨利润 7000 元.当地一家公司现有这种蔬菜 140 吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工 16 吨，如果对 蔬菜进行精加工，每天可加工 6 吨，但每天两种方式不能同时进行.受季节等条件的限制， 必须用 15 天时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕.为此，公司研制了三种方案： 方案一：将蔬菜全部进行粗加工； 方案二：尽可能地对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜，在市场上直接出售； 方案三：将一部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并刚好 15 天完成. 如果你是公司经理，你会选择哪一种方案，说说理由. 分析：可先分别计算三种方案的获利情况，然后再比较. 解：方案一：获利为 140×4000560000 元； 方案二：获利为 7000×（15×6）1000×（14015×6）680000 元； 方案三：获利计算过程如下： 设精加工的蔬菜吨，粗加工的蔬菜吨.xy根据题意，得，解得 15166140 yxyx 8060 yx解得60x 所以方案三获利为 60×700080×4000740000 元； 因为 560000680000740000，如果我是公司经理，我会选择方案三. 点评：如何经营才能获得最大利润是经营者一直思考的问题，本题基于这一点，利用 方程组构建数学模型，对提供的三种方案进行选择，培养了同学们应用数学知识解决实际 问题的能力.我们知道，方程的本身就是一种十分重要的数学思想方法，然而，方程中还蕴藏着许多其Http:/www.fhedu.cn凤凰出版传媒集团 版权所有 网站地址：南京市湖南路 1 号 B 座 808 室联系电话：025-83657815 Mail：adminfhedu.cn它的数学思想方法，为方便同学们学习，现举例说明. 一、类比思想 根据新旧知识的许多共同点或类似的特点，在学习新知识时借鉴旧知识的思想和方法. 如我们在学习等式的性质时，借鉴“天平”的原理理解等式的性质，等式变性的思想就是 使原本平衡的天平继续保持新的平衡的道理. 例 1 如图，天秤中的物体 a、b、c 使天秤处于平衡状态，则质量最大的物体是 .分析:利用天平平衡时，天平的左右两盘的质量相等，即可找到相等关系. 解：当两个天平都平衡时，得 2a3b，2b3c.由等式的性质，得 4a6b，6b9c， 即 4a6b9c.由此使天秤处于平衡状态，则质量最大的物体是 a. 二、整体思想 在解方程的许多情况下，遇到括号或去分母时，我们通常要将括号里面或分子、分母 看成一个整体，或将方程中的某一项视为整体求解.例 2 解方程x(x1)(x1).1 21 22 3 分析：用常规解法解该方程，显然过程比较复杂.注意到 x1 可以看作一个整体，因 此，可先解关于 x1 的方程.解：原方程可化为(x1)(x1)+1(x1).1 21 22 3去括号，得(x1)(x1)+(x1).1 21 41 22 3移项，得(x1)(x1)(x1).1 21 42 31 2合并同类项，得(x1).5 121 2方程两边同乘以，得 x11.2，即 x2.2.5 12 三、逆向思维我们知道分数的运算法则是+，反过来，+，这样运用逆向a bc bac bac ba bc b 变换的方法在解方程中经常用中.例 3 解方程+1.210 5x32 3x分析：若将、分别拆成两项的和，方程两边可以同时减去 2，从而不210 5x32 3x必去分母.解：原方程可变形为x+21x+1，即xx，所以 x0.2 52 32 52 3