常微分方程答案4.1

习题习题 4.13. 已知齐次线性微分方程的基本解组，求下列方程对应的非齐次线性微分12,x x方程的通解：(2) 1211,11ttxxxtxt xett 解：令所求通解为 12tx tc t tct e则 12111222120111ttttc t tct ec tc ttcttecttec t tctet 所以，所求通解为 2 121tx ttett (5) 22 12634 ,lnt xtxxttxt xtt解：令所求通解为22 2663434xxt xtxxttxttt 12lnx tc t tct tt则 12112 22 11226ln0ln346ln3463434 1 ln3ln346lnc t tct ttc ttt c t tctttctttc ttttcttt 所以，所求通解为 22 12ln343 lnx ttttttt4. 已知方程有基本解组为，试求此方程适合初值条件220d xxdtttee, 01 ,00xx及 00 ,01xx的基本解组（称为标准基本解组，即有） ，并由此求出方程的适合初值 01W条件 000,0xxxx的解。解：因为是方程的基本解组，故的通解为ttee,220d xxdt220d xxdt 1212,ttx tc ec ec c¡由可得， 01,00xx 12 12 12111ch022ttccccx teetcc由可得， 00,01xx 12 12 120111,sh1222ttccccx teetcc 又和线性无关，所以适合初值条件及chtsht220d xxdt 01,00xx的基本解组为，从而 的通解又可表示为 00,01xxchtsht220d xxdt 1212chsh ,x tctctc c% ¡故由可得，于是适合初值条件 000,0xx xx1020,cx cx%的解为 000,0xx xx 00chshx txtxt