高考数学大一轮复习 第十章 计数原理-人教版高三数学试题

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理考情展望1.考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用.2.多以选择题、填空题形式考查两个计数原理1分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法2分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nm×n种不同的方法1在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有()A50个B45个C36个D35个【答案】C2在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()A10 B11 C12 D15【答案】B3某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为()A504 B210 C336 D120【答案】A4甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有()A6种 B12种 C24种 D30种【答案】C5(2014·大纲全国卷)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组则不同的选法共有()A60种 B70种 C75种 D150种【答案】C6(2013·浙江高考)将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有_种(用数字作答)【答案】480考向一 168分类加法计数原理集合Px,1，Qy,1,2，其中x，y1,2,3，9，且PQ，把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()A9B14C15D21【答案】B,规律方法1分类标准是运用分类计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法对点训练如图1011所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有_个图1011【答案】40考向二 169分步乘法计数原理将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()A12种B18种C24种D36种【答案】A,规律方法21.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且也要确定分步的标准，分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事2分步必须满足两个条件：(1)步骤互相独立，互不干扰(2)步与步确保连续，逐步完成对点训练已知集合M3，2，1,0,1,2，若a，b，cM，则(1)yax2bxc可以表示多少个不同的二次函数；(2)yax2bxc可以表示多少个图象开口向上的二次函数【解】(1)a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此yax2bxc可以表示5×6×6180个不同的二次函数(2)yax2bxc的开口向上时，a的取值有2种情况，b、c的取值均有6种情况因此yax2bxc可以表示2×6×672个图象开口向上的二次函数考向三 170两个计数原理的综合应用在1,2,3,4,5这五个数字所组成的允许有重复数字的三位数中，其各个数字之和为9的三位数共有()A16个B18个C19个D21个【答案】C,规律方法3用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，把完成每一步的方法数相乘，得到总数对点训练从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A24B18C12D6【答案】B思想方法之二十二分类讨论思想在计数原理中的妙用分类加法计数原理体现了分类讨论思想在计数原理中的应用解决此类问题的关键是确定分类标准，做到不重复、不遗漏1个示范例编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图1012所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1,2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，求不同的放法有多少种？图1012【解】根据A球所在位置分三类：(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E，则根据分步乘法计数原理得，3×2×16种不同的放法；(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E，则根据分步乘法计数原理得，3×2×16种不同的放法；(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号、3号、5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C、D、E有A6种不同的放法，根据分步乘法计数原理得，3×3×2×118种不同方法综上所述，由分类加法计数原理得不同的放法共有661830种1个对点练如图1013，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有_图1013【解析】按区域1与3是否同色分类：(1)区域1与3同色：先涂区域1与3有4种方法，再涂区域2,4,5(还有3种颜色)有A种方法区域1与3涂同色，共有4A24种方法(2)区域1与3不同色：先涂区域1与3有A种方法，第二步涂区域2有2种涂色方法，第三步涂区域4只有一种方法，第四步涂区域5有3种方法这时共有A×2×1×372种方法，故由分类计数原理，不同的涂色种数为247296.【答案】96课时限时检测(五十七)分类加法计数原理与分步乘法计数原理(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是()A56 B65C.D6×5×4×3×2【答案】A2三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有()A6种 B8种 C10种 D16种【答案】C3某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B、C、D中选择，其他四个号码可以从09这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3、5、6、8、9中选择，其他号码只想在1、3、6、9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有()A180种 B360种C720种 D960种【答案】D4将一个四面体ABCD的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色，要求共端点的棱不能涂相同颜色，则不同的涂色方案有()A1种 B3种 C6种 D9种【答案】C5如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a2，且a2a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为()A240 B204 C729 D920【答案】A6甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面不同的安排方法共有()A20种 B30种 C40种 D60种【答案】A二、填空题(每小题5分，共15分)7从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_种(用数字作答)【答案】368用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有_个(用数字作答)【答案】149已知集合M1，2,3，N4,5,6，7从两个集合中各取一个元素作点的坐标，则在直角坐标系中，第一、第二象限不同点的个数为_【答案】14三、解答题(本大题共3小题，共35分)10(10分)如图1014，用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？图1014【解】法一如题图分四个步骤来完成涂色这件事：涂A有5种涂法；涂B有4种方法；涂C有3种方法；涂D有3种方法(还可以使用涂A的颜色 )根据分步计数原理共有5×4×3×3180种涂色方法法二由于A、B、C两两相邻，因此三个区域的颜色互不相同，共有A60种涂法；又D与B、C相邻，因此D有3种涂法；由分步计数原理知共有60×3180种涂法11(12分)“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1 458)，若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，求第30个“渐升数”【解】渐升数由小到大排列，形如的渐升数共有：65432121(个)形如的渐升数共有5个形如的渐升数共有4个故此时共有215430个因此从小到大的渐升数的第30个必为1 359.12(13分)高二年级四个班中有34个自愿组成数学课外小组，其中一班有7人，二班有8 人，三班有9人，四班有10人推荐两人为中心发言人，且这两人必须来自不同的班级，则有多少种不同的选法？【解】分六类，每类都分两步，从一、二班各选一人，共有7×856种；从一、三班各选一人，共有7×963种；从一、四班各选一人，共有7×1070种；从二、三班各选一人，共有8×972种；从二、四班各选一人，共有8×1080种；从三、四班各选一人，共有9×1090种所以共有不同的选法为：N566370728090431种第二节排列与组合考情展望1.以实际问题为背景考查排列、组合的应用，同时考查分类讨论的思想.2.以选择题或填空题的形式考查，或在解答题中和概率相结合进行考查一、排列与排列数1排列从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列2排列数从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A.二、组合与组合数1组合从n个不同元素中取出m(mn)个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合2组合数从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组