高等数学向量代数与空间解析几何

第五章第五章 向量代数与空间解析几何（数学一）向量代数与空间解析几何（数学一）§§51 向量代数向量代数一空间直角坐标系一空间直角坐标系从空间某定点作三条互相垂直的数轴，都以为原点，有相同的长度单位，分别称为轴，轴，轴，符合OOxyz右手法则，这样就建立了空间直角坐标系，称为坐标原点。O1两点间距离两点间距离设点，为空间两点，则这两点间的距离可以表示为1111,zyxM2222,zyxM2 122 122 1221zzyyxxMMd2中点公式中点公式设为，联线的中点，则zyxM,1111,zyxM2222,zyxM2,2,2212121zzzyyyxxx二向量的概念二向量的概念1向量向量既有大小又有方向的量称为向量。方向是一个几何性质，它反映在两点之间从一点到另一点的顺序关系，而AB两点间又有一个距离。常用有向线段表示向量。点叫起点，点叫终点，向量的长度叫做模，记为。ABABABAB模为 的向量称为单位向量。12向量的坐标表示向量的坐标表示若将向量的始点放在坐标原点，记其终点，且点在给定坐标系中的坐标为。记以三个坐标轴正OMMzyx,向为方向的单位向量依次记为，则向量可以表示为 kji,OMzkyjxiOM称之为向量的坐标表达式，也可以表示为 OMzyxOM,称分别为向量在轴，轴，轴上的分量。称分别为向量在轴，轴，轴上的投zkyjxi,OMxyzzyx,OMxyz影。记与轴、轴、轴正向的夹角分别为，则OMxyz, 222cos zyxx222cos zyxy 222cos zyxz方向余弦间满足关系1coscos222cox描述了向量的方向，常称它们为向量的方向角。的模可以表示为 ,OMOM222zyxOM与向量同方向的单位向量可以表示为。与向量平行的单位向量可以表示为zyxOM,OM OM1OM。 向量同方向上的单位向量常记为。OM OM1aa三向量的运算三向量的运算321321,aaakajaiaa321321,bbbkbjbibb321321,ccckcjcicc1加法。 减法。332211,babababa332211,babababa2数乘。（是常数） 向量的加、减和数乘运算统称线性运算。321,aaa3数量积。 其中为向量间夹角 bababa,cos332211bababa ba,ba,为数量也称点乘。 表示向量在向量上的投影，即 ba0baabajbabPr04向量积也称为叉乘。ba bababa,sin的方向按右手法则垂直于所在平面，且 baba,321321 bbbaaakji ba是向量，。等于以为邻边的平行四边形的面积。baabbababa,5混合积：定义，坐标公式 cbacba,321321321 , cccbbbaaa cba几何意义表示以为棱的平行大面体的体积。cba,cba,四两向量间的关系四两向量间的关系设321321,bbbbaaaa关系向量表示向量坐标表示间夹角ba, babacos2 32 22 12 32 22 1332211cos bbbaaabababa与垂直ab0ba0332211bbbaba与平行ab0ba 332211 ba ba ba§§52 平面与直线平面与直线一空间解析几何一空间解析几何1空间解析几何研究的基本问题（1）已知曲面（线）作为点的几何轨迹，建立这曲面（线）的方程。（2）已知坐标和间的一个方程（组） ，研究这方程（组）所表示的曲面（线） 。yx,z2距离公式 空间两点与间的距离为111,zyxA222,zyxBd2 122 122 12zzyyxxd3定比分点公式 是的分点：，点的坐标为，则zyxM,ABMBAMBA,111,zyxA222,zyxB 1,1,1212121zzzyyyxxx当为中点时，M2,2,2212121zzzyyyxxx二平面及其方程二平面及其方程1法（线）向量，法（线）方向数。与平面垂直的非零向量，称为平面的法向量，通常记成。法向量的坐标称为法（线）方向数。对npnm,于给定的平面，它的法向量有无穷多个，但它所指的方向只有两个。2点法式方程 已知平面过点，其法向量，则平面的方程为000,zyxMCBAn,或 其中0000zzCyyBxxA00rrnzyxrzyxr,00003一般式方程0DCzByAx其中不全为零。前的系数表示的法线方向数，是的法向量。CBA,zyx,CBAn,特别情形：，表示通过原点的平面。0CzByAx，平行于轴的平面。0DByAxz，平行平面的平面。0 DAxyOz表示平面。0xyOz4三点式方程设，三点不在一条直线上，则通过的平面方程为111,zyxA222,zyxB333,zyxCCBA,0131313121212111 zzyyxxzzyyxxzzyyxx5平面束设直线的一般式方程为，则通过的所有平面方程为L 0022221111 DzCyBxADzCyBxAL，其中。02222211111DzCyBxAkDzCyBxAk 0 , 0,21kk6有关平面的问题两平面为0:11111DzCyBxA0:22222DzCyBxA与间12夹角 2 22 22 22 12 12 1212121cos CBACBACCBBAA垂直条件0212121CCBBAA平行条件 21212121 DD CC BB AA重合条件21212121 DD CC BB AA设平面的方程为，而点为平面外的一点，则到平面的距离：0DCzByAx111,zyxMMd222111 CBADCzByAxd 三直线及其方程三直线及其方程1方向向量、方向数与直线平行的非零向量，称为直线的方向向量，方向向量的坐标称为方向数。SL2直线的标准方程（对称式方程） 。其中为直线上的点，为直线的方向数。nzz myy lxx000000,zyxnml,3参数式方程ntzzmtyyltxx000为参变量。tnmls,4两点式设，为不同的两点，则通过和的直线方程为111,zyxA222,zyxBAB121121121 zzzz yyyy xxxx 5一般式方程（作为两平面的交线）：，方向向量 0022221111 DzCyBxADzCyBxA 222111,CBACBAS6有关直线的问题两直线为111111 1:nzz myy lxxL222222 2:nzz myy lxxL与间夹角1L2L 2 22 22 22 12 12 1212121cos nmlnmlnnmmll垂直条件0212121nnmmll平行条件212121 nn mm ll四平面与直线相互关系四平面与直线相互关系平面的方程为：0DCzByAx直线的方程为：Lnzz myy lxx000与间夹角（）L222222sin nmlCBACnBmAl与垂直条件LCn Bm Al与平行条件L0CnBmAl与重合条件L0CnBmAl 上有一点在上L§§53 曲面与空间曲线曲面与空间曲线一曲面方程一曲面方程1一般方程一般方程 0,zyxF2参数方程参数方程（平面区域） vuzzvuyyvuxx,. Dvu,二空间曲线方程二空间曲线方程1一般方程一般方程2参数方程参数方程 0,0,21 zyxFzyxF ttzztyytxx三常见的曲面方程三常见的曲面方程1球面方程球面方程设是球心，是半径，是球面上任意一点，则，即0000,zyxPRzyxP,RPP022 02 02 0Rzzyyxx2旋转曲面的方程旋转曲面的方程（1）设是平面上一条曲线，其方程是绕轴旋转得到旋转曲面，设是旋转面上LxOz . 0, 0, yzxfLzzyxP,任一点，由点旋转而来（点是圆心） 。000,zOxPzM, 0 , 0由得旋转面方程是zzyxMPMPx022 00, 0,22zyxf或 由参数方程，得旋转面的参数方程tfx tgy thz ,t， .,sin,cos2222thztgtfytgtfx t20（2）求空间曲线绕轴一周得旋转曲面的方程 0,0,21 zyxFzyxFz第一步：从上面联立方程解出， zfx zgy 第二步：旋转曲面方程为 zgzfyx2222绕轴一周或绕轴一周的旋转曲面方程类似地处理。yx